如圖,關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-2mx-m的圖象與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn)(x2>0>x1),與y軸交于C點(diǎn),且∠BAC=∠BCO.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)以點(diǎn)D(數(shù)學(xué)公式,0)為圓心作⊙D,與y軸相切于點(diǎn)O.過(guò)拋物線上一點(diǎn)E(x3,t)(t>0,x3<0)作x軸的平行線與⊙D交于F、G兩點(diǎn),與拋物線交于另一點(diǎn)H.問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)t,使得EF+GH=FG?如果存在,求出t的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)∵∠BAC=∠BCO,∠BOC=∠COA=90°
∵△BCO∽△CAO,

∴CO2=AO•OB.
由已知可得:AO=|x1|=-x1,OB=|x2|=x2
∵x1x2=-m<0,
∴m>0,
∴CO=m,AO•BO=m
∴m2=m,m=1,m=0(舍去),
∴拋物線的解析式為:y=x2-2x-1;

(2)存在實(shí)數(shù)t,使得EF+GH=FG.
過(guò)D作DM⊥EH于M,連接DG,
∵EH∥x軸,E(x3,t),
∴DM=t,
∵DG=DO=
∴FG=2MG=2=2,
由EF+GH=FG得EH=2FG;
又∵EH∥x軸,E(x3,t),
∴設(shè)H(x4,t)
∵E、H是拋物線上的兩點(diǎn),
∴x32-2x3-1=t,x42-2x4-1=t,
即x3、x4是方程的兩個(gè)不相等的根,
∴x3+x4=2,x3•x4=-(1+t),
∵x3<0
∴x4>0
∴EH=x4-x3===2,
∴2=4,
即4t2+t-6=0,
解這個(gè)方程得t1=,t2=-(舍去),
故存在實(shí)數(shù)t=,使得EF+GH=FG.
分析:(1)中求函數(shù)解析式即要求m的大小,由圖可知,OC=|m|,又拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),則OA•OB=m,且m>0,根據(jù)題設(shè)條件可推得△BCO∽△CAO,幫CO2=OA•OB即m2=m,從而求出m=1(m=0不合題意,舍去).
(2)是一道存在型探索問(wèn)題,可先假設(shè)符合題意的t值存在,再把EF+GH=FG作為已知條件結(jié)合題設(shè)與相關(guān)知識(shí)進(jìn)行演算推證,若求出合適的t的值,則假設(shè)成立;若求不出t值或所求值與已知矛盾,則假設(shè)不成立.
點(diǎn)評(píng):本題是函數(shù)與圓的綜合題,考查了相似三角形、韋達(dá)定理等知識(shí),綜合性較強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)y=-x2-2x+3的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn)(如圖所示),點(diǎn)D在二精英家教網(wǎng)次函數(shù)的圖象上,且D與C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B、D;
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求一次函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

10、已知二次函y=-x2-2x+m的部分圖象如圖所示,則關(guān)于l的一元二次方程-x2-2x+m=0的解為
x1=1,x2=-3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1.
(1)若關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的兩根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐標(biāo)系(如圖)中畫(huà)出函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1的大致圖象;
(2)在(1)的條件下,設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸從左至右交于A、B兩點(diǎn).問(wèn)函數(shù)對(duì)稱軸右邊的圖象上,是否存在點(diǎn)M,使銳角△AMB的面積等于3.若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(1)、(2)條件下,若P點(diǎn)是二次函圖象上的點(diǎn),且∠PAM=90°,求△APM的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1.
(1)若關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的兩根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐標(biāo)系(如圖)中畫(huà)出函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1的大致圖象;
(2)在(1)的條件下,設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸從左至右交于A、B兩點(diǎn).問(wèn)函數(shù)對(duì)稱軸右邊的圖象上,是否存在點(diǎn)M,使銳角△AMB的面積等于3.若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(1)、(2)條件下,若P點(diǎn)是二次函圖象上的點(diǎn),且∠PAM=90°,求△APM的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年廣東省廣州市白云區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1.
(1)若關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的兩根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐標(biāo)系(如圖)中畫(huà)出函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1的大致圖象;
(2)在(1)的條件下,設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸從左至右交于A、B兩點(diǎn).問(wèn)函數(shù)對(duì)稱軸右邊的圖象上,是否存在點(diǎn)M,使銳角△AMB的面積等于3.若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(1)、(2)條件下,若P點(diǎn)是二次函圖象上的點(diǎn),且∠PAM=90°,求△APM的面積.

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