Question

如圖，已知AE、BD相交于點(diǎn)C，AC=AD,BC=BE,F、G、H分別是DC、CE、AB的中點(diǎn)。求證：（1）HF=HG；(2)∠FHG=∠DAC

Answer 1

證明：（1）證法一：如圖1，連接AF、BG

∵AC=AD，BC=BE，F(xiàn)、G分別是DC、CE的中點(diǎn)，

∴AF⊥BD，BG⊥AE

在直角三角形AFB中，

∵H是斜邊AB中點(diǎn)，

∴FH=AB

同理可證HG=AB

∴HF=HG

證法二：如圖2，取AC中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)N，連接MF、MH、NG、NH，

∵F、G、H分別是CD、CE、AB中點(diǎn)，

∴FM=AD且FM∥AD，NG=BE且NG∥BE，

MH=CB且MH∥CB，HN=AC且HN∥AC

∴∠FMC=∠DAC，∠GNC=∠EBC，四邊形MHNC是平行四邊形

∴∠HMC=∠HNC

又∵AD=AC，BC=BE， ∠ACD=∠BCE，

∴FM=HN，MH=GN，∠DAC=∠EBC

∴∠ =∠HNG

∴△FMH≌△HNG

∴FH=GH

（2）證法一：如圖1，∵AD=AC，CB=CE，∠ACD=∠BCE，

∴∠DAC＝∠CBE

∵∠FHG=180°－∠AHF－∠BHG=180°－（180°－2∠FAH）－（180°－2∠HBG）

=2∠FAH+2∠HBG－180°

=2（∠FAC+∠CAB）+2（∠CBG+∠CBA）－180°

=∠DAC+∠CBE+2（∠CAB+∠CBA）－180°

=2∠DAC+2（180°－∠ACB）－180°

=2∠DAC+2∠ACD－180°

=∠DAC+∠DAC+2∠ACD－180°=∠DAC，

∴∠FHG＝∠DAC

證法二：如圖2，∵△FMH≌△HNG，

∴∠MHF=∠NGH，∠MFH=∠NHG

又∵四邊形MHNC為平行四邊形，

∴∠FHG＝∠MHN－（∠MHF+∠NHG）

=∠MHN－（180°－∠FMH）

=∠MHN+∠FMH－180°

=∠ACN+∠FMH－180°

=180°+∠FMC－180°

=∠FMC=∠DAC

∴∠FHG=∠DAC