Question

“五一”期間，為了滿足廣大人民的消費需求，某商店計劃用160000元購進一批家電，這批家電的進價和售價如下表：

類別	彩電	冰箱	洗衣機
進價	2000	1600	1000
售價	2200	1800	1100

（1）若在現(xiàn)有資金160000元允許的范圍內，購買上表中三類家電共100臺，其中彩電臺數(shù)和冰箱臺數(shù)相同，且購買洗衣機的臺數(shù)不超過購買彩電的臺數(shù)，請你算一算有幾種進貨方案？
（2）設購買彩電X臺，商店銷售完畢后獲得利潤為w元，求W與X的函數(shù)關系式．并求哪種進貨方案能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大？最大利潤是多少．（利潤=售價-進價）

Answer 1

解：（1）設購買彩電a臺，冰箱a臺，則夠買洗衣機為（100-2a）臺，
根據(jù)題意，得，
解得：，
因為a是整數(shù)，所以a=34，35，36，37，
則共有四種進貨方案，分別為：
方案1：彩電和冰箱各進34臺，洗衣機進32臺；
方案2：彩電和冰箱各進35臺，洗衣機進30臺；
方案3：彩電和冰箱各進36臺，洗衣機進28臺；
方案4：彩電和冰箱各進37臺，洗衣機進26臺；

（2）設商店銷售完畢后獲得利潤為w元，
則W=（2200-2000）x+（1800-1600）x+（1100-1000）（100-2x）
=200x+10000，
∵W關于x的一次函數(shù)，且200＞0，
∴w隨x的增大而增大，
∴當x=37時，W_最大值=200×37+10000=17400元，
則進貨方案為：彩電和冰箱各進37臺，洗衣機進26臺，能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大，
商店獲取利潤最大為17400元．
分析：（1）設購買彩電a臺，根據(jù)彩電與冰箱的臺數(shù)相同，三類家電共100臺，分別表示出冰箱及洗衣機的臺數(shù)，根據(jù)表格中三種家電的進價表示三種家電的總進價，小于等于160000元列出關于a的不等式，同時根據(jù)購買洗衣機的臺數(shù)不超過購買彩電的臺數(shù)列出另一個關于a的不等式，聯(lián)立兩不等式組成不等式組，求出不等式組解集中的正整數(shù)解有幾個，可得出有幾種方案；
（2）根據(jù)購買彩電為x臺，根據(jù)彩電與冰箱的臺數(shù)相同，三類家電共100臺，分別表示出冰箱及洗衣機的臺數(shù)，然后由表格得到一臺彩電，一臺冰箱，及一臺洗衣機的利潤，各種乘以表示出的臺數(shù)求出總利潤，W表示總利潤，列得W關于x的一次函數(shù)關系式，根據(jù)一次函數(shù)x的系數(shù)大于0，得到此一次函數(shù)為增函數(shù)，把第一問中x的最大值代入函數(shù)解析式求出的值為W的最大值，
點評：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：一元一次不等式組的應用，不等式解集中的正整數(shù)解，以及一次函數(shù)的圖象與性質，此類題常常以實際生活為情景，考查利潤等熱點問題，解答時要審清題中的等量關系及不等關系，從表格中提取有用的信息，達到解決問題的目的．