Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且與OA的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)D．

1.判斷CD與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；

2.若∠ACB=120°，OA=2，求CD的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

 

1.CD與⊙O的位置關(guān)系是相切，理由如下：作直徑CE，連結(jié)AE．

∵CE是直徑， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，

∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，

∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，

∴OC⊥D C，∴CD與⊙O相切．

2.∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，

又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，

∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，

∴∠DOA=60°，

∴在Rt△DCO中， =，

∴DC=OC=OA=2．

【解析】（1）直線與圓的位置關(guān)系有相交、相切、內(nèi)含，該題通過條件可證∠DCO=90°，即直線與圓相切；（2）解直角三角形即可得DC的長(zhǎng)。