Question

【題目】直線y=﹣ x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，菱形ABCD如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)E．
①請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出m的值；
②點(diǎn)P（0，t）是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與0、B重合），
經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且平行于x軸的直線交AB于M、交CE于N．設(shè)線段MN的長(zhǎng)度為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)自變量的取值范圍）；
③當(dāng)t=2時(shí)，線段MN，BC，AE之間有什么關(guān)系？（寫(xiě)出過(guò)程）

Answer 1

【答案】解：①∵直線y=﹣ x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
∵四邊形ABCD是菱形，
∵直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴m=9，
②∵M(jìn)N 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，t）且平行于x軸，
∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM ， t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（xN ， t），
∵點(diǎn)M在直線AB上，
直線AB的解析式為y=﹣ x+4，
∴t=﹣ xM+4，得xM=﹣ t+3，
同理點(diǎn)N在直線CE上，直線CE的解析式為y=x+9，
∴t=xN+9，得xN=t﹣9，
∵M(jìn)N∥x軸且線段MN的長(zhǎng)度為d，
∴d=xM﹣xN=﹣ t+3﹣（t﹣9）=﹣ t+12（0≤t≤4）
③MN= （BC+AE）．
理由：當(dāng)t=2時(shí)，P（0，2），
∴OP=2，
∵OB=4，
∴點(diǎn)P是OB中點(diǎn)，
∵M(jìn)N∥x軸，
∴MN是梯形ABCE的中位線，
∴MN= （BC+AE）．
【解析】①由直線的解析式可求出A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線y=x+m即可求出m的值；②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM ， t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（xN ， t），首先求出xM=﹣ t+3，再求出xN=t﹣9，進(jìn)而得到d=xM﹣xN=﹣ t+3﹣（t﹣9）=﹣ t+12；③先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)P是OB中點(diǎn)，即可得出MN是梯形ABCE的中位線即可得出結(jié)論．