Question

如圖點P是函數(shù)y=

1

2

x（x＞0）圖象上一動點，直線PA⊥x軸，垂足為點A，交函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象于點M，直線PB⊥y軸，垂足為點B，交函數(shù)的y=

1

x

（x＞0）的圖象于點N（點M、N不重合）．
（1）當(dāng)點P的橫坐標為2時，求△PMN的面積；
（2）證明：MN∥AB（如圖1）；
（3）當(dāng)△OMN為直角三角形時，求出此時點P的坐標．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點P是函數(shù)y=

1

2

x（x＞0）圖象上一動點把x=2代入求出y的值即可得出P點坐標，再求出MN的坐標，根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（2）設(shè)點P的坐標為（2a，a）、（a＞0），則A（2a，0）、M（2a，

1

2a

）、B（0，a）、N（

1

a

，a），再根據(jù)相似三角形的判定定理得出△MPN∽△APB，由相似三角形的性質(zhì)即可的得出結(jié)論；
（3）分∠ONM=90°與∠OMN=90°兩種情況進行討論．

解答：解：（1）∵把x=2代入y=

1

2

x，得y=1，
∴P（2，1）
把x=2代入y=

1

x

，得y=

1

2

，
∴M（2，

1

2

）
把y=1代入y=

1

x

，得x=1，
∴N（1，1）
∴S_△PMN=

1

2

PM•PN=

1

2

×

1

2

×1=

1

4

；

（2）設(shè)點P的坐標為（2a，a）、（a＞0），則A（2a，0）、M（2a，

1

2a

）、B（0，a）、N（

1

a

，a），
∴

PA

PB

=

a

2a

=

1

2

，

PM

PN

=

a- 1 2a

2a- 1 a

=

1

2

，
∴

PA

PB

=

PM

PN

，即

PM

PA

=

PN

PB

．
又∵∠MPN=∠APB，
∴△MPN∽△APB，
∴∠PMN=∠PAB，
∴MN∥AB；

（3）∵M（2a，

1

2a

）、N（

1

a

，a），
∴ON²=（

1

a

）²+a²，OM²=（2a）²+（

1

2a

）²，MN²=（2a-

1

a

）²+（

1

2a

-a）²，
①∠ONM=90°時，
∵ON²+MN²=OM²，即（

1

a

）²+a²+（2a-

1

a

）²+（

1

2a

-a）²=（2a）²+（

1

2a

）²，解得a=

2

∴P（2

2

，

2

）；
②∠OMN=90°時，
∵OM²+MN²=ON²，即（2a）²+（

1

2a

）²+（2a-

1

a

）²+（

1

2a

-a）²=（

1

a

）²+a²，解得a=

2

4

．
∴P（

2

2

，

2

4

）．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、勾股定理等知識，難度適中．