Question

已知直角梯形ABCD的腰AB在x軸的正半軸上，CD在第一象限，AD∥BC，AD⊥x軸，E、F分別是AB、CD的中點．
（1）如圖1，拋物線經(jīng)過C、D兩點，且與EF相交于點G，如果點A、B的橫坐標分別為1、3，求線段FG的長；
（2）如圖2，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過C、D兩點，且與EF相交于點G，如果點A、B的橫坐標分別為n、n+2，求線段FG的長．

Answer 1

解：∵EF是直角梯形ABCD的中位線，
∴EF∥AD∥BC，EF=．
∵AD⊥x軸，
∴EF⊥x軸，BC⊥x軸．
（1）∵A、B的橫坐標分別為1、3，
∴點E的橫坐標為2．
∴點D、G、E的橫坐標分別為1、2、3．
∵拋物線經(jīng)過點D、G、C，
∴AD=，EG=3，BC=．
∴EF==．
∴FG=EF-EG=．

（2）∵A、B的橫坐標分別為n、n+2，
∴點E的橫坐標為n+1．
∴點D、G、E的橫坐標分別為n、n+1、n+2．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點D、G、C，
∴AD=an²+bn+c，EG=a（n+1）²+b（n+1）+c，
BC=a（n+2）²+b（n+2）+c
∴EF==a（n²+2n+2）+b（n+1）+c．
∴FG=EF-EG=a（n²+2n+2）+b（n+1）+c-a（n+1）²-b（n+1）-c=a．
分析：（1）由EF是直角梯形ABCD的中位線可以得到EF∥AD∥BC，EF=，又A、B的橫坐標分別為1、3，根據(jù)中點的性質(zhì)可以得到點E的橫坐標為2，所以點D、G、E的橫坐標分別為1、2、3，而拋物線經(jīng)過點D、G、C，由此得到AD=，EG=3，BC=，然后就可以求出EF的長度，最后可以求出FG；
（2）由A、B的橫坐標分別為n、n+2，可以得到點E的橫坐標為n+1．然后把點D、G、E的橫坐標分別代入拋物線y=ax²+bx+c中即可得到AD=an²+bn+c，EG=a（n+1）²+b（n+1）+c，BC=a（n+2）²+b（n+2）+c，接著利用中位線的性質(zhì)得到EF的長度，最后可以求出FG．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合題目，分別考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、梯形及梯形中位線的性質(zhì)，綜合性比較強，平時要加強訓練，也要求學生的計算能力比較好才能很好解決這類問題．