Question

20．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，OB=3，動(dòng)點(diǎn)M和N分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求菱形ABCD的面積S；
（2）若點(diǎn)M的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)N的速度為每秒2個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到與直線AC距離為1.8時(shí)，t=1.8或4.2（直接填空）；
（3）若點(diǎn)M的速度為每秒1單位，點(diǎn)N的速度為每秒3個(gè)單位，在平面內(nèi)有一點(diǎn)E，使以A、M、N、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則線段AE的長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3或$\frac{6\sqrt{39}}{7}$（直接填空）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形面積為對(duì)角線之積的一半即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)N在線段DC上時(shí)，過N作NE⊥AC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式得到t=1.8，當(dāng)N在線段DA上時(shí)，求得t≤6，過N作NE⊥AC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式得到t=4.2；
（3）分兩大類情況，第一類以AM為邊，這種情況可以畫兩種菱形；第二類以AM為對(duì)角線，只有一種．因此共三種情況，分別計(jì)算．

解答 解：（1）∵菱形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，OB=3，
∴BD=6，AC⊥BD，∠DAC=30°，
∴AD=6，
∴DO=$\sqrt{A{D}^{2}-D{O}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BD=6$\sqrt{3}$，
菱形ABCD的面積為$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$；

（2）當(dāng)N在線段DC上時(shí)，如圖2-1，
過N作NE⊥AC于E，
則NC=2t，NE=1.8，△CNE∽△CDO，
∴$\frac{CN}{CD}=\frac{NE}{DO}$，
∴$\frac{2t}{6}=\frac{1.8}{3}$，
解得：t=1.8，
當(dāng)N在線段DA上時(shí)，如圖2-2，
∵2t≤CD+DA=12，
∴t≤6，
過N作NE⊥AC于E，
則NA=12-2t，NE=1.8，△ANE∽△ADO，
∴$\frac{AN}{AD}=\frac{NE}{DO}$，
∴$\frac{12-2t}{6}=\frac{1.8}{3}$，
解得：t=4.2，
故答案為：1.8或4.2；

（3）①如圖3-1，四邊形AMEN為菱形，
∴AM=t，AN=AM=t=6-（3t-6），
∴AN=AM=3，
∴AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
②如圖3-2，四邊形AENM為菱形，EM交AN于點(diǎn)P，
∴AE=AM=t，
∴AN=2AP=12-3t，
∵AM=2AP=12-3t=t，
∴AE=AM=3；
③如圖3-3，四邊形AEMN為菱形，EN交AM于點(diǎn)T，作BS垂直CD于S，
則AT=MT=$\frac{t}{2}$，
∵BS=3$\sqrt{3}$，
∴NT=3$\sqrt{3}$，
∵CS=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴BT=SN=3t-3=6-$\frac{t}{2}$，
∴t=$\frac{18}{7}$
∴AT=$\frac{9}{7}$，
∴AE=AN=$\sqrt{A{T}^{2}+N{T}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{39}}{7}$，
綜上所述，線段AE的長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3或$\frac{6\sqrt{39}}{7}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3或$\frac{6\sqrt{39}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、面積計(jì)算，分類討論等重要知識(shí)點(diǎn)和技能，綜合性和技巧性很強(qiáng)，計(jì)算量也較大，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是一道經(jīng)典壓軸題．