Question

如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交與點O，AD與BC交與點P，BE與CD交與點Q，連接PQ．有下列結(jié)論：①AD=BE      ②AP=BQ  ③ ∠AOB=60°  ④DE=DP 其中正確的結(jié)論有   

                   

A．① ② ③    B．① ③ ④      C．① ②    D. ② ③ ④

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，

∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①小題正確；

∵△ACD≌△BCE（已證），∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°（已證），

∴∠ACQ=180°-60°×2=60°，∠ACB=∠ACQ=60°，

在△ACP與△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠ACQ=，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，故②小題正確；

∵△ACD≌△BCE（已證），∴∠CAD=∠CBE，∵∠CBE+∠BEC=∠BCA=60°，

∴∠CAD+∠BEC=60°，∴∠AOB=60°，故③小題正確；

∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小題錯誤．綜上所述，正確的是①②③．故選A.