Question

（1）如圖1，OC平分∠AOB，點P在OC上，若⊙P與OA相切，那么⊙P與OB位置關系是

相切

．
（2）如圖2，⊙O的半徑為2，∠AOB=120°，
①若點P是⊙O上的一個動點，當PA=PB時，是否存在⊙Q，同時與射線PA、PB相切且與⊙O相切？如果存在，求出⊙Q的半徑；如果不存在，請說明理由．
②若點P在BO的延長線上，且滿足PA⊥PB，是否存在⊙Q，同時與射線PA、PB相切且與⊙O相切？如果存在，請直接寫出⊙Q的半徑；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作PD⊥OA于A，PE⊥OB于B，則根據(jù)角平分線定義得到PD=PE，根據(jù)切線的性質由⊙P與OA相切得到PD為⊙P的半徑，然后根據(jù)切線的判定定理可得到OB為⊙P的切線；
（2）①由PA=PB得到點P為∠AOB的平分線或反向延長線與⊙O的交點，分類討論：當P點在優(yōu)弧AB上時，作QC⊥PA于C，易得∠CPQ=30°，設⊙Q的半徑為r，即QC=r，則PQ=2r，則OQ=2r-2，根據(jù)兩圓相切的性質得
2r-2=2-r或2r-2=2+r；同理可得

2 3

3

r-2=2-r和

2 3

3

r-2=2+r，然后解四個方程即可得到滿足條件的⊙Q的半徑；
②作QH⊥PB于H，由PA⊥PB得∠APB=90°，由⊙Q與射線PA、PB相切，根據(jù)切線的性質得PQ平分∠APB，即∠QPH=45°，所以QH=PH，在Rt△POA中易得OP=1，設⊙Q的半徑為r，即PH=QH=r，則OH=PH-OP=r-1，在Rt△OQH中，根據(jù)勾股定理得OQ²=OH²+QH²=（r-1）²+r²，
若⊙Q與⊙O內切時，OQ=2-r，得到（2-r）²=（r-1）²+r²，若⊙Q與⊙O外切時，OQ=2+r，得到（2+r）²=（r-1）²+r²，然后解兩個方程即可得到滿足條件的⊙Q的半徑．

解答：解：（1）作PD⊥OA于A，PE⊥OB于B，如圖1，
∵OC平分∠AOB，
∴PD=PE，
∵⊙P與OA相切，
∴PD為⊙P的半徑，
∴PE為⊙的半徑，
而PE⊥OB，
∴OB為⊙P的切線；
故答案為相切；

（2）①存在．
∵PA=PB，
∴點P為∠AOB的平分線或反向延長線與⊙O的交點，
如圖2，
當P點在優(yōu)弧AB上時，作QC⊥PA于C，
∴∠CPQ=30°，
設⊙Q的半徑為r，即QC=r，則PQ=2r，
∴OQ=2r-2，
若⊙Q與⊙O內切時，2r-2=2-r，解得r=

4

3

；
若⊙Q與⊙O外切時，2r-2=2+r，解得r=4；
當P點在劣弧AB上時，即在P′處，
作Q′C⊥PA于C，
∴∠DQ′P′=30°，
設⊙Q′的半徑為r，即Q′D=r，則P′D=

3

3

r，Q′P′=

2 3

3

r，
∴OQ′=

2 3

3

r-2，
若⊙Q′與⊙O內切時，

2 3

3

r-2=2-r，解得r=8

3

-12；
若⊙Q與⊙O外切時，

2 3

3

r-2=2+r，解得r=8

3

+12；
綜上所述，存在⊙Q，半徑可以為

4

3

，4，8

3

-12，8

3

+12；
②存在．作QH⊥PB于H，如圖3，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵⊙Q與射線PA、PB相切，
∴PQ平分∠APB，
∴∠QPH=45°，
∴△QHP為等腰直角三角形，
∴QH=PH，
在Rt△POA中，∠AOP=60°，OA=2，
∴OP=1，
設⊙Q的半徑為r，即PH=QH=r，則OH=PH-OP=r-1，
在Rt△OQH中，OQ²=OH²+QH²=（r-1）²+r²，
若⊙Q與⊙O內切時，OQ=2-r，則（2-r）²=（r-1）²+r²，解得r₁=1，r₂=-3（舍去）；
若⊙Q與⊙O外切時，OQ=2+r，則（2+r）²=（r-1）²+r²，解得r₁=3+2

3

，r₂=3-2

3

（舍去）；
綜上所述，存在⊙Q，其半徑可以為1，3+2

3

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定與性質、角平分線定理、圓周角定理和兩圓相切的判定與性質；會運用等腰直角三角形的性質；會根據(jù)勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關系進行幾何計算．