Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．
（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．
①作∠DAC的平分線AM． ②連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F．
（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)證明∠C=∠FAC，進(jìn)而可得AF∥BC；然后再證明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．
解答：解：（1）如圖所示；

（2）AF∥BC，且AF=BC，
理由如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，
由作圖可得∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC，
∴AF∥BC，
∵E為AC中點(diǎn)，
∴AE=EC，
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
∴AF=BC．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了作圖，以及平行線的判定，全等三角形的判定，關(guān)鍵是證明∠C=∠FAC．