Question

如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD為一邊的等邊DCE的另一頂點(diǎn)E在腰AB上．

（1）求∠AED的度數(shù)；

（2）連接AC，試說明：△ABC是等腰三角形；

（3）如圖2所示，若F為線段CD上一點(diǎn)，∠FBC=30º．求證： DF =FC；

Answer 1

(1)∵∠BCD=75º，AD∥BC　 ∴∠ADC=105º

　　　　 由等邊△DCE可知：∠CDE =60º，故∠ADE =45º

由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB=90º ， ∴∠AED=45º

　 (2)方法一：由(1)知：∠AED=45º，∴AD=AE，故點(diǎn)A在線段DE的垂直平分線上．

由△DCE是等邊三角形得：CD=CE，故點(diǎn)C也在線段DE的垂直平分線上．

∴AC就是線段DE的垂直平分線，即AC⊥DE

連接AC，∵∠AED =45º，∴∠BAC=45º，又AB⊥BC　 ∴BA=BC．

∴△ABC為等腰三角形

方法二：過D點(diǎn)作DF⊥BC，交BC于點(diǎn)

可證得：△DFC≌△CBE 則DF=BC

從而：AB=CB　 ∴△ABC為等腰三角形

（3）∵∠FBC=30º，∴∠ABF=60º

連接AF，BF、AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，

∵∠FBC=30º，∠DCB=75º，∴∠BFC=75º，故BC=BF

由(2)知：BA=BC，故BA=BF，∵∠ABF=60º，∴AB=BF=FA，

又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠FAG=∠G=30º

∴FG =FA= FB

∵∠G=∠FBC=30º，∠DFG=∠CFB，FB=FG

∴△BCF≌△GDF

∴DF=CF