Question

如圖，扇形OAB的半徑為4，圓心角∠AOB=90°，點C是上異于點A、B的一動點，過點C作CD⊥OB于點D，作CE⊥OA于點E，聯(lián)結DE，過O點作OF⊥DE于點F，點M為線段OD上一動點，聯(lián)結MF，過點F作NF⊥MF，交OA于點N．
（1）當時，求的值；
（2）設OM=x，ON=y，當時，求y關于x 的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結CF，當△ECF與△OFN相似時，求OD的長．

Answer 1

（1）；（2）；（3）或 .

試題分析：（1）由△MFO∽△NFE和，根據(jù)相似三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)定義， 即可求得結果.
（2）由△MFO∽△NFE和△ODF∽△EOF可得，即，從而根據(jù)勾股定理可得出，即.
（3）分或兩種情況討論即可.
（1）由題意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE="90°" ， ∴∠MOF=∠FEN ．
由題意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN="90°" ， ∴∠MFO=∠NFE.
∴△MFO∽△NFE．∴.
由∠FEN=∠MOF可得：， ∴, ∴．
（2）∵△MFO∽△NFE , ∴.
又易證得：△ODF∽△EOF ， ∴．
∴， ∴．
如圖，連接MN，則.
由題意，得四邊形ODCE為矩形，∴DE="OC=4" .∴MN=2.
在Rt△MON中，,即.
∴y關于x 的函數(shù)解析式為 ．

（3）由題意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.
∴由題意，可得： ， ∴.
∵又，∴，∴.
由題意，可得：∠NOF=∠FEC ，
∴由△ECF與△OFN相似，可得：或.
當時，，∴.
又，∴，解得：（舍去）.
∴.
②當時，，∴，
又，∴，∴解得：（舍去）
∴.
綜上所述，OD=或 .