(2006•萊蕪)半徑為2.5的⊙O中,直徑AB的不同側(cè)有定點C和動點P.已知BC:CA=4:3,點P在上運動,過點C作CP的垂線,與PB的延長線交于點Q.
(1)當(dāng)點P與點C關(guān)于AB對稱時,求CQ的長;
(2)當(dāng)點P運動到的中點時,求CQ的長;
(3)當(dāng)點P運動到什么位置時,CQ取到最大值?求此時CQ的長.
【答案】分析:(1)如果點P與點C關(guān)于AB對稱,根據(jù)垂徑定理可得出CP⊥AB,在直角三角形ABC中,根據(jù)△ABC面積的不同表示方法可求出CD的長,即可得出PC的值,進而可通過相似三角形△PQC和△ABC(∠A=∠P,一組直角)求出CQ的長.
(2)當(dāng)點P運動到弧AB的中點時,過點B作BE⊥PC于點E(如圖);由于P是弧AB的中點,由圓周角定理得∠ACP=∠PCB=45°,由△CEB是等腰直角三角形,可得CE=BE=BC=2;又由圓周角定理得∠CPB=∠CAB,由正切的概念知tan∠CPB=tan∠CAB==BE:PE,得到PE=BE=進而求得PC,而從(1)中得,CQ=PC=
(3)如果CQ去最大值,那么PC也應(yīng)該取最大值,因此當(dāng)PC是圓O的直徑時,CQ才取最大值.此時PC為5,可根據(jù)上面得出的PC、CQ的比例關(guān)系求出CQ的長.
解答:解:(1)當(dāng)點P與點C關(guān)于AB對稱時,CP⊥AB,設(shè)垂足為D.
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∴AB=5,又∵BC:CA=4:3,
∴BC=4,AC=3.
又∵AC•BC=AB•CD
∴CD=,PC=
在Rt△ACB和Rt△PCQ中,
∠ACB=∠PCQ=90°,∠CAB=∠CPQ,
Rt△ACB∽Rt△PCQ
,
∴CQ==PC=

(2)當(dāng)點P運動到弧AB的中點時,過點B作BE⊥PC于點E(如圖).
∵P是弧AB的中點,
∴∠PCB=45°,CE=BE=BC=2
又∠CPB=∠CAB
∴tan∠CPB=tan∠CAB=
∴PE=BE=,PC=
而從(1)中得,CQ=PC=

(3)點P在弧AB上運動時,恒有CQ==PC;
故PC最大時,CQ取到最大值.
當(dāng)PC過圓心O,即PC取最大值5時,CQ最大值為
點評:本題屬于常規(guī)的幾何綜合題,利用了直角三角形的面積公式,相似三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),正切的概念求解.解第3小問時要有動態(tài)的思想(在草稿上畫畫圖)不難猜想出結(jié)論.
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(2)當(dāng)點P運動到的中點時,求CQ的長;
(3)當(dāng)點P運動到什么位置時,CQ取到最大值?求此時CQ的長.

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(2)當(dāng)點P運動到的中點時,求CQ的長;
(3)當(dāng)點P運動到什么位置時,CQ取到最大值?求此時CQ的長.

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