Question

11．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD的延長線與BC的延長線相交于點(diǎn)E，DC=DE．
（1）求證：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求證：△ABE是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠DCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCE=∠DEC，等量代換證明結(jié)論；
（2）根據(jù)垂徑定理得到OE是CD的垂直平分線，根據(jù)題意證明△DEC為等邊三角形，證明結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵DC⊥OE，
∴DF=CF，
∴OE是CD的垂直平分線，
∴ED=EC，又DE=DC，
∴△DEC為等邊三角形，
∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB，
∴△ABE是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和垂徑定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角是解題的關(guān)鍵．