Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜邊AB上的中線，AB=10，，點(diǎn)P是CE延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥CB，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，設(shè)EP=x，BQ=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（2）連接PB，當(dāng)PB平分∠CPQ時(shí)，求PE的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)B作BF⊥AB交PQ于F，當(dāng)△BEF和△QBF相似時(shí)，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用tanA=，以及AB=10，即可求出BC，AC，再利用△PCQ∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)求出y與x的關(guān)系式即可；
（2）利用PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，垂足為Q．得出BM=BQ=y，進(jìn)而求出x即可；
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠FEB=∠A時(shí)，②當(dāng)∠FEB=∠ABC時(shí)，分別求出即可．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵CE是斜邊AB上的中線，
∴，
∴∠PCB=∠ABC，
∵∠PQC=∠ACB=90°，
∴△PCQ∽△ABC，
∴，
即，
∴，定義域?yàn)閤＞5．

（2）過點(diǎn)B作BM⊥PC，垂足為M．
∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，垂足為Q．
∴BM=BQ=y，
∵=，
設(shè)AC=3x，則BC=4x，AB=5x，
∴sin∠MCB===，
∴，
∴，
∴x=11，

（3）∵∠Q=∠ACB=90°，∠QBF=∠A，
∴△BQF∽△ABC，
當(dāng)△BEF和△QBF相似時(shí)，
可得△BEF和△ABC也相似．
分兩種情況：
①當(dāng)∠FEB=∠A時(shí)，
在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，
∴，
解得x=10；  
②當(dāng)∠FEB=∠ABC時(shí)，
在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，
∴，
解得；
綜合①②，或10．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的考查是中考中重點(diǎn)題型，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．