Question

設四位數

.

abcd

是一個完全平方數，且

.

ab

=2

.

cd

+1，則這個四位數為

5929

．

Answer 1

分析：根據四位數

.

abcd

是一個完全平方數得出這個數的取值范圍，進而得出67（3x）=（m+10）（m-10），從而分析得出m+10，m-10中至少有一個是67的倍數，求出即可．

解答：解：設數

.

abcd

=m²，則32≤m≤99，又設

.

cd

=x，則

.

ab

=2x+1，
于是100（2x+1）+x=m²，即201x=m²-100，
即67（3x）=（m+10）（m-10），
∵67是質數m，
∴m+10，m-10中至少有一個是67的倍數，
若m+10=67k（k是正整數），
∵32≤m≤99，
∴m+10=67，
∴m=57，
檢驗知57²=3249，不合題意舍去，
若m-10=67K（k是正整數），則m-10=67，
∴m=77，
∴

.

abcd

=77²=5929．
故答案為：5929．

點評：此題主要考查了完全平方數的性質，根據已知的出67（3x）=（m+10）（m-10）是解決問題的關鍵．