Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是AD的中點，AD=4，BC=6，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），PE與BD相交于點O，設PB的長為x．
（1）當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE．
（2）當x=______時，四邊形ABPE是平行四邊形；當x=______時，四邊形ABPE是直角梯形；
（3）當P在BC上運動的過程中，四邊形ABPE會不會是等腰梯形？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△BOP和△DOE中，已知的條件有：對頂角∠BOP=∠DOE；根據AD∥BC，可得出內錯角∠PBO=∠EDO，由此可判定兩個三角形相似；
（2）由于AE∥BP，所以當BP=AE=2時，四邊形ABPE是平行四邊形；由于AE∥BP，所以當P為BC的中點，即BP=3時，可證EP⊥BC，四邊形ABPE是直角梯形；
（3）由于AE∥BP，梯形ABCD是等腰梯形，所以當PB=4，PC=ED=2時，四邊形CDEP是平行四邊形，此時四邊形ABPE是等腰梯形．
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠PBO=∠EDO．
∵∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；

（2）∵E是AD的中點，AD=4，
∴AE=DE=2．
∵AE∥BP，
∴當BP=AE，即x=2時，四邊形ABPE是平行四邊形．如圖1；
如圖2．
連接BE、CE．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠D．
在△ABE與△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∴當BP=CP=BC=3時，EP⊥BC，
又∵AE∥PB且AE≠PB，
∴四邊形ABPE是直角梯形．
∴當x=3時，四邊形ABPE是直角梯形．
故答案為2，3；

（3）當PB=4時，四邊形ABPE是等腰梯形．理由如下：
∵AD∥BC即DE∥PC，
∴當PC=DE=2，即PB=BC-PC=4時，四邊形PCDE是平行四邊形，
∴PE=CD，
又∵AB=CD，
∴PE=AB．
∵AE∥PB且AE≠PB，
∴四邊形ABPE是等腰梯形．
點評：本題考查了等腰梯形的判定與性質，平行四邊形、直角梯形的判定，相似三角形的判定與性質，難度中等．