Question

如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，點D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立.

    

(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ(0°<θ<90°)時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G.

①求證：BD⊥CF；

②當AB=4，AD=時，求線段BG的長.

Answer 1

(1)BD=CF成立.

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°.

∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，

∠CAF=∠DAF-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF(SAS).

∴BD=CF.

(2)①證明：設BG交AC于點M.

∵△BAD≌△CAF(已證)，∴∠ABM=∠GCM.

∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG.

∴∠BGC=∠BAC=90°.∴BD⊥CF.

②過點F作FN⊥AC于點N.

∵在正方形ADEF中，AD=，

∴AN=FN=AE=1.

∵在等腰直角△ABC中，AB=4，

∴CN=AC-AN=3，BC==4.

∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==.

∴在Rt△ABM中，

tan∠ABM==tan∠FCN=.

∴AM=×AB=.

∴CM=AC-AM=4-=，

BM==.

∵△BMA∽△CMG，∴ =.

∴=.∴CG=.

∴在Rt△BGC中，BG==.