Question

（2013•牡丹江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，OA，OB的長分別是方程x²-14x+48=0的兩根，且OA＜OB．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)A作直線AC交y軸于點(diǎn)C，∠1是直線AC與x軸相交所成的銳角，sin∠1=

3

5

，點(diǎn)D在線段CA的延長線上，且AD=AB，若反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，求k的值．
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在射線AD上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是鄰邊之比為1：2的矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的長度，得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△AOB≌△DEA，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；進(jìn)而由題意，求出k的值；
（3）如答圖2所示，可能存在兩種情形，需要分別計(jì)算，避免漏解．針對每一種情形，利用相似三角形和全等三角形，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0，得：x₁=6，x₂=8．
∵OA，OB的長分別是方程x²-14x+48=0的兩根，且OA＜OB，
∴OA=6，OB=8，
∴A（6，0），B（0，8）．

（2）如答圖1所示，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．

在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10．
∴sin∠OBA=

OA

AB

=

6

10

=

3

5

．
∵sin∠1=

3

5

，
∴∠OBA=∠1．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，
∴∠OAB=∠ADE．
在△AOB與△DEA中，

∠OBA=∠1 AB=AD ∠OAB=∠ADE

，
∴△AOB≌△DEA（ASA）．
∴AE=OB=8，DE=OA=6．
∴OE=OA+AE=6+8=14，
∴D（14，6）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，
∴k=14×6=84．

（3）存在．
如答圖2所示，若以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是鄰邊之比為1：2的矩形，

①當(dāng)AB：AM₁=2：1時(shí)，
過點(diǎn)M₁作M₁E⊥x軸于點(diǎn)E，易證Rt△AEM₁∽Rt△BOA，
∴

AE

OB

=

M1E

OA

=

AM1

AB

，即

AE

8

=

M1E

6

=

1

2

，
∴AE=4，M₁E=3．
過點(diǎn)N₁作N₁F⊥y軸于點(diǎn)F，易證Rt△N₁FB≌Rt△AEM₁，
∴N₁F=AE=4，BF=M₁E=3，
∴OF=OB+BF=8+3=11，
∴N₁（4，11）；
②當(dāng)AB：AM₂=1：2時(shí)，
同理可求得：N₂（16，20）．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)N，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，11）或（16，20）．

點(diǎn)評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解一元二次方程、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形、全等三角形、矩形等知識點(diǎn)．第（3）問中，矩形鄰邊之比為1：2，有兩種情形，需要分別計(jì)算，避免漏解．