Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）題中的拋物線上有一個動點P，當(dāng)點P在拋物線上滑動到什么位置時，滿足S_△PAB=8，并求出此時P點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線過B、C兩點，而拋物線的解析式中也只有兩個待定系數(shù)，因此可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）中得出的拋物線的解析式，可求得A點的坐標(biāo)，也就能得出AB的長．△PAB中，AB的長為定值，那么可根據(jù)△PAB的面積求出P到AB的距離，即P點縱坐標(biāo)的絕對值，然后將其代入拋物線的解析式中（分正負(fù)兩個值）即可求出P點的坐標(biāo)．
（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點的位置，已知了B與A點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此只需連接BC，直線BC與對稱軸的交點即為Q點．可根據(jù)B、C兩點的坐標(biāo)先求出直線BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解析式即可求出Q點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（-1，0），B（3，0），
∴
解得．
∴所求解析式為y=x²-2x-3．

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），
由題意：S_△PAB=×4|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
當(dāng)y=4時，x²-2x-3=4，
∴x₁=2+1，x₂=-2+1；
當(dāng)y=-4時，x²-2x-3=-4，∴x=1，
∴滿足條件的點P有3個，
即（2+1，4），（-2+1，4），（1，-4）．

（3）在拋物線對稱軸上存在點Q，使△QAC的周長最小．
∵AC長為定值，
∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小，
∵點A關(guān)于對稱軸直線x=1的對稱點是（3，0），
∴Q是直線BC與對稱軸直線x=1的交點，
設(shè)過點B，C的直線的解析式y(tǒng)=kx-3，把B（3，0）代入，
∴3k-3=0，
∴k=1，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
把x=1代入上式，
∴y=-2，
∴Q點坐標(biāo)為（1，-2）．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，圖形面積的求法，函數(shù)圖象的交點等知識；
（3）題中能正確的找出Q點的位置是解題的關(guān)鍵所在．