Question

如圖，已知點(diǎn)從出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿軸向正方向運(yùn)動(dòng)，以為頂點(diǎn)作菱形，使點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且；以為圓心，為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒，求：

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所有使與菱形的邊所在直線相切的的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）過(guò)作軸于，

 

，，

，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）①當(dāng)與相切時(shí)（如圖1），切點(diǎn)為，此時(shí)，

，，

．

②當(dāng)與，即與軸相切時(shí)（如圖2），則切點(diǎn)為，，

過(guò)作于，則，

，．

③當(dāng)與所在直線相切時(shí)（如圖3），設(shè)切點(diǎn)為，交于，

則，，

．

過(guò)作軸于，則，

，

化簡(jiǎn)，得，

解得，

，

．

所求的值是，和．

【解析】（1）過(guò)作軸于,利用三角函數(shù)求得OD、DC的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)

⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切，則可與OC相切；或與OA相切；或與AB相切，應(yīng)分三種情況探討：①當(dāng)圓P與OC相切時(shí)，如圖1所示，由切線的性質(zhì)得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)相等得到OC=1+t，由∠AOC的度數(shù)求出∠POC為30°，在直角三角形POC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出cos30°=oc/op，表示出OC，

等于1+t列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②當(dāng)圓P與OA，即與x軸相切時(shí)，過(guò)P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三線合一得到E為OC的中點(diǎn)，OE為OC的一半，而OE=OPcos30°，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③當(dāng)圓P與AB所在的直線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，PF與OC交于點(diǎn)G，由切線的性質(zhì)得到PF垂直于AB，則PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用銳角三角函數(shù)定義由OC表示出CD，即為FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根據(jù)PF=PC，表示出PC，過(guò)C作CH垂直于y軸，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值．