Question

【題目】如圖1，把一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，點(diǎn)C落在E處，BE交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：FB=FD；
（2）如圖2，連接AE，求證：AE∥BD；

（3）如圖3，延長(zhǎng)BA，DE相交于點(diǎn)G，連接GF并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)H，求證：GH垂直平分BD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△BCD≌△BED，

∴∠DBC=∠EBD，

又∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠EBD，

∴BF=DF

（2）證明：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，

∴AD=BC=BE，

又∵FB=FD，

∴FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF+∠AFE=2∠FBD+∠BFD=180°，

∴∠AEF=∠FBD，

∴AE∥BD

（3）證明：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，

∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，

在△ABD與△EDB中，

∴△ABD≌△EDB（SSS），

∴∠ABD=∠EDB，

∴GB=GD，

又∵FB=FD，

∴GF是BD的垂直平分線(xiàn)，即GH垂直平分BD

【解析】（1）由折疊的性質(zhì)可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)可得和三角形內(nèi)角和定理可得∠AEF=∠FBD，再根據(jù)平行線(xiàn)的判定即可求解；（3）先SSS證明△ABD≌△EDB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等才能正確解答此題．