Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)B，且與正比例函數(shù)y＝x的圖象交點(diǎn)為C（m，4）．

（1）求一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；

（2）求△BOC的面積；

（3）若點(diǎn)D在第二象限，△DAB為等腰直角三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2）3；（3）（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．

【解析】

（1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式可求得m，再把A、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可求得k、b，可求得答案；

（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（3）由題意可分AB為直角邊和AB為斜邊兩種情況，當(dāng)AB為直角邊時(shí)，再分A為直角頂點(diǎn)和B為直角頂點(diǎn)兩種情況，此時(shí)分別設(shè)對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)為D2和D1，過(guò)點(diǎn)D1作D1E⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D2作D2F⊥x軸于點(diǎn)F，可證明△BED1≌△AOB（AAS），可求得D1的坐標(biāo)，同理可求得D2的坐標(biāo)，AD1與BD2的交點(diǎn)D3就是AB為斜邊時(shí)的直角頂點(diǎn)，據(jù)此即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)C（m，4）在正比例函數(shù)y＝x的圖象上，

∴m＝4，

解得：m＝3，

∴C（3，4），

∵點(diǎn)C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函數(shù)y＝kx+b的圖象上，

∴，

解得，

∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+2；

（2）在y＝x+2中，令x＝0，解得y＝2，

∴B（0，2），

∴S△BOC＝×2×3＝3；

（3）分AB為直角邊和AB為斜邊兩種情況，

當(dāng)AB為直角邊時(shí)，分A為直角頂點(diǎn)和B為直角頂點(diǎn)兩種情況，

如圖，過(guò)點(diǎn)D1作D1E⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D2作D2F⊥x軸于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，

∴AB＝BD1，

∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠EBD1，

∵在△BED1和△AOB中，

，

∴△BED1≌△AOB（AAS），

∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，

∴OE=OB+BE=2+3=5，

∴點(diǎn)D1的坐標(biāo)為（﹣2，5）；

同理可得出：△AFD2≌△AOB，

∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，

∴點(diǎn)D2的坐標(biāo)為（﹣5，3），

當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖，

∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，

∴∠AD3B＝90°，

設(shè)AD1的解析式為y=k1x+b1，

將A（-3，0）、D1（-2，5）代入得，

解得：，

所以AD1的解析式為：y=5x+15，

設(shè)BD2的解析式為y=k2x+b2，

將B（0，2）、D2（-5，3）代入得，

解得：，

所以AD2的解析式為：y=x+2，

解方程組得：，

∴D3（，），

綜上可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．

故答案為：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．