Question

將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB=2AD=4．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°≤α≤180°），BD的延長線交直線CE于點(diǎn)P．
（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是

 

，位置關(guān)系是

 

；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)AD⊥BD時(shí)，求出CP的長；
（3）在此旋轉(zhuǎn)過程中，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），進(jìn)而求出四邊形ADPE為正方形，即可得出CP的長；
（3）由（2）知，當(dāng)α=60°時(shí)，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此時(shí)∠AOP=60°，得出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，OA長為半徑的

AP

+

PA

，進(jìn)而利用弧長公式求出即可．

解答：解：（1）BD=EC，BD⊥CE；
理由：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，
∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB=2AD=4，
∴D，E分別是AB和AC的中點(diǎn)，故BD=EC=AD=AE，BD⊥CE；
故答案為：BD=EC，BD⊥CE；

（2）如圖3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠1=∠2，
∴BP⊥CE，
∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，
∴四邊形ADPE為正方形，
∴AD=PE=2，
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，
∴∠ABD=30°，
∴BD=CE=2

3

，
∴CP=CE-PE=2

3

-2；

（3）如圖4，取BC的中點(diǎn)O，連接OP、OA，
∵∠BPC=∠BAC=90°，
∴OP=OA=

1

2

BC=2

2

，
在此旋轉(zhuǎn)過程中（0°≤α≤180°），
由（2）知，當(dāng)α=60°時(shí)，
∠PBA最大，且∠PBA=30°，
此時(shí)∠AOP=60°，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，OA長為半徑的

AP

+

PA

，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長為：
l=

AP

+

PA

=2

AP

=

60×π×2 2

180

×2=

4 2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何變換綜合題以及弧長公式和正方形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是解題關(guān)鍵．