Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑CD⊥AB，垂足為E，弦BF交CD于點M，交AC于點N，且BF=AC，連接AD、AM．
求證：（1）△ACM≌△BCM；
（2）AD•BE=DE•BC；
（3）BM²=MN•MF．

Answer 1

證明：（1）∵直徑CD⊥AB，
∴AC=BC．
∴∠ACM=∠BCM．
∴△ACM≌△BCM．

（2）∵∠DAB=∠ECB∠ADC=∠EBC，
∴△ADE∽△CBE．
∴=．
∴AD•BE=DE•BC．

（3）連接AF，
∵BF=AC，
∴．
∴．
∴∠F=∠FBC．
又∵∠CAM=∠CBM，
∴∠F=∠MAN．
∵∠AMF=∠NMA，
∴△AMF∽△NMA．
∴．
∴AM²=MN•MF．
又∴BM=AM．
∴BM²=MN•MF．
分析：（1）要證明△ACM≌△BCM，只要證明∠ACM=∠BCM就可以；
（2）要證明AD•BE=DE•BC，只要證明△ADE∽△CBE即可；
（3）要證明BM²=MN•MF，主要求證△AMF∽△NMA即可．
點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
證明線段的乘積相等可以轉(zhuǎn)化為證明三角形相似．