Question

（2012•內江）已知反比例函數y=

1

x

的圖象，當x取1，2，3，…，n時，對應在反比例圖象上的點分別為M₁，M₂，M₃…，M_n，則S△P1M1 M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn=

n-1

2n

．

Answer 1

分析：延長M_nP_n-1交M₁P₁于N，先根據反比例函數上點的坐標特點易求得M₁的坐標為（1，1）；Mn的坐標為（n，

1

n

）；然后根據三角形的面積公式得S△P1M1 M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn=

1

2

P₁M₁×P₁M₂+

1

2

M₂P₂×P₂M₃+…+

1

2

M_n-1P_n-1×P_n-1M_n，而P₁M₂=P₂M₃=…=P_n-1M_n=1，則S△P1M1 M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn=

1

2

（M₁P₁+M₂P₂+…+M_n-1P_n-1），經過平移得到面積的和為

1

2

M₁N，于是面積和等于

1

2

（1-

1

n

），然后通分即可．

解答：解：延長M_nP_n-1交M₁P₁于N，如圖，
∵當x=1時，y=1，
∴M₁的坐標為（1，1）；
∵當x=n時，y=

1

n

，
∴Mn的坐標為（n，

1

n

）；
∴S△P1M1 M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn=

1

2

P₁M₁×P₁M₂+

1

2

M₂P₂×P₂M₃+…+

1

2

M_n-1P_n-1×P_n-1M_n
=

1

2

（M₁P₁+M₂P₂+…+M_n-1P_n-1）
=

1

2

M₁N
=

1

2

（1-

1

n

）
=

n-1

2n

．
故答案為

n-1

2n

．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足反比例函數的解析式；掌握三角形的面積公式．