Question

16．十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中面數(shù)（F）、頂點數(shù)（V）、棱數(shù)（E）之間存在一個有趣的關(guān)系式，被稱為“歐拉公式”，請你觀察如圖所示幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（1）根據(jù)如圖所示多面體模型，完成表格中的空格：

多面體	各面形狀	面數(shù)（F）	頂點數(shù)（V）	棱數(shù)（E）
四面體	三角形	4	4	6
長方體	長方形	6	8	x
正八面體	正三角形	8	y	12
正十二面體	正五面型	12	20	30

你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是V+F-E=2（用含V、F、E的式子表示）；
（2）已知某個玻璃鉓品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和六邊形兩種多邊形拼接而成，且有18個頂點，每個頂點處都有4條棱，設(shè)該多面體外表面三角形的個數(shù)為m個，六邊形的個數(shù)為n個，求m+n的值；
（3）在（2）的情況下，又已知m+2q=18，求代數(shù)式（3n-6q）²-$\frac{2}{10q-5n}$的值．

Answer 1

分析 （1）觀察可得頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2；
（2）得到多面體的棱數(shù)，求得面數(shù)即為m+n的值；
（3）根據(jù)（2）中所求，結(jié)合已知得出n-2q=2，進(jìn)而求出答案．

解答 解：（1）由表格中數(shù)據(jù)可得，關(guān)系式為：V+F-E=2；
故答案為：V+F-E=2；

（2）∵有18個頂點，每個頂點處都有4條棱，兩點確定一條直線；
∴共有18×4÷2=36（條棱），
那么18+F-36=2，
解得：F=20，
∴m+n=20；

（3）∵m+2q=18①，m+n=20②，
∴②-①得：n-2q=2，
∴（3n-6q）²-$\frac{2}{10q-5n}$
=[3（n-2q）]²-$\frac{2}{5（2q-n）}$
=36-$\frac{2}{5×（-2）}$
=36$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了多面體的頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系以及代數(shù)式求值，正確得出n-2q=2是解題關(guān)鍵．