【題目】如圖菱形ABCD中,∠ADC=60°,M、N分別為線(xiàn)段AB,BC上兩點(diǎn),且BM=CN,且AN,CM所在直線(xiàn)相交于E.
(1)證明△BCM≌△CAN;
(2)∠AEM= °;
(3)求證DE平分∠AEC;
(4)試猜想AE,CE,DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)60°;(3)證明見(jiàn)解析;(4)ED=EC+AE,理由見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)如圖,連接AC.由題意△ABC,△ADC都是等邊三角形,根據(jù)SAS即可證明△BCM≌△CAN.
(2)由△BCM≌△CAN,推出∠BCM=∠CAN,推出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°.
(3)如圖中,作DG⊥AN于G.DH⊥MC交MC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H.由△DGA≌△DHC,推出DG=DH,由DG⊥AN,DH⊥MC,推出∠DEG=∠DEH.即DE平分∠AEC.
(4)結(jié)論:EA+EC=ED.由(3)可知,∠GED=60°,在Rt△DEG中,由∠EDG=30°,推出DE=2EG,易證△DEG≌△DEH,推出EG=EH,推出EA+EC=EG+AG+EH-CH,由△DGA≌△DHC,推出GA=CH,推出EA+EC=2EG=DE,
解:(1)如圖1中,連接AC.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,
∵∠ADC=60°,
∴△ACD,△ABC是等邊三角形,
∴BC=AC,∠B=∠ACN=60°,
在△BCM和△CAN中,
,
∴△BCM≌△CAN.
(2)如圖1中,∵△BCM≌△CAN,
∴∠BCM=∠CAN,
∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°.
故答案為60.
(3)如圖2中,作DG⊥AN于G.DH⊥MC交MC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H.
∵∠AEM=60°,
∴∠AEC=120°,
∵∠DGE=∠H=90°,
∴∠GEH+∠GDH=180°,
∴∠GDH=∠ADC=60°,
∴∠ADG=∠CDH,
在△DGA和△DHC中,
,
∴△DGA≌△DHC,
∴DG=DH,
∵DG⊥AN,DH⊥MC,
∴∠DEG=∠DEH.
∴DE平分∠AEC.
(4)結(jié)論:EA+EC=ED.理由如下:
如圖2中,由(3)可知,∠GED=60°,
在Rt△DEG中,∵∠EDG=30°,
∴DE=2EG,
易知△DEG≌△DEH,
∴EG=EH,
∴EA+EC=EG+AG+EH-CH,
∵△DGA≌△DHC,
∴GA=CH,
∴EA+EC=2EG=DE,
∴EA+EC=ED.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為F,DE與AB相交于點(diǎn)E.
(1)求證:ABAF=CBCD;
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是線(xiàn)段DE上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)DP=x cm,梯形BCDP的面積為ycm2 .
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
②y是否存在最大值?若有求出這個(gè)最大值,若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 中, ,, 的平分線(xiàn)與的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn),將沿 (在上, 在上)折疊,點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合,則的度數(shù)是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),E為線(xiàn)段AB上的點(diǎn),點(diǎn)D為線(xiàn)段AE的中點(diǎn).
(1)若線(xiàn)段AB=a,CE=b,|a﹣15|+(b﹣4.5)2=0,求a,b的值;
(2)如圖1,在(1)的條件下,求線(xiàn)段DE的長(zhǎng);
(3)如圖2,若AB=15,AD=2BE,求線(xiàn)段CE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】東臺(tái)教育局為幫助全市貧困師生舉行“一日捐”活動(dòng),甲、乙兩校教師各捐款30000元,已知“……”,設(shè)乙學(xué)校教師有x人,則可得方程,根據(jù)此情景,題中用“……”表示的缺失的條件應(yīng)補(bǔ)( )
A. 乙校教師比甲校教師人均多捐20元,且甲校教師的人數(shù)比乙校教師的人數(shù)多20%
B. 甲校教師比乙校教師人均多捐20元,且乙校教師的人數(shù)比甲校教師的人數(shù)多20%
C. 甲校教師比乙校教師人均多捐20元,且甲校教師的人數(shù)比乙校教師的人數(shù)多20%
D. 乙校教師比甲校教師人均多捐20元,且乙校教師的人數(shù)比甲校教師的人數(shù)多20%
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D為BC的中點(diǎn), ,垂足為E.過(guò)點(diǎn)B作BF//AC交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,連接CF,AF.現(xiàn)有如下結(jié)論:
①BF=2;②;③AD平分∠CAB;④AF=;⑤∠CAF=∠CFB.其中正確的結(jié)論是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④⑤ D. ①②④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司保安部去商店購(gòu)買(mǎi)同一品牌的應(yīng)急燈和手電筒,查看定價(jià)后發(fā)現(xiàn),購(gòu)買(mǎi)一個(gè)應(yīng)急燈和5個(gè)手電筒共需50元,購(gòu)買(mǎi)3個(gè)應(yīng)急燈和2個(gè)手電筒共需85元.
(1)求出該品牌應(yīng)急燈、手電筒的定價(jià)分別是多少元?
(2)經(jīng)商談,商店給予該公司購(gòu)買(mǎi)一個(gè)該品牌應(yīng)急燈贈(zèng)送一個(gè)該品牌手電筒的優(yōu)惠,如果該公司需要手電筒的個(gè)數(shù)是應(yīng)急燈個(gè)數(shù)的2倍還多8個(gè),且該公司購(gòu)買(mǎi)應(yīng)急燈和手電筒的總費(fèi)用不超過(guò)670元,那么該公司最多可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)該品牌應(yīng)急燈?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】程大位所著《算法統(tǒng)宗》是一部中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作.在《算法統(tǒng)宗》中記載:“平地秋千未起,踏板離地一尺.送行二步與人齊,五尺人高曾記.仕女佳人爭(zhēng)蹴,終朝笑語(yǔ)歡嬉.良工高士素好奇,算出索長(zhǎng)有幾?”【注釋】1步=5尺.
譯文:“當(dāng)秋千靜止時(shí),秋千上的踏板離地有1尺高,如將秋千的踏板往前推動(dòng)兩步(10尺)時(shí),踏板就和人一樣高,已知這個(gè)人身高是5尺.美麗的姑娘和才子們,每天都來(lái)爭(zhēng)蕩秋千,歡聲笑語(yǔ)終日不斷.好奇的能工巧匠,能算出這秋千的繩索長(zhǎng)是多少嗎?”
如圖,假設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)始終保持直線(xiàn)狀態(tài),OA是秋千的靜止?fàn)顟B(tài),A是踏板,CD是地面,點(diǎn)B是推動(dòng)兩步后踏板的位置,弧AB是踏板移動(dòng)的軌跡.已知AC=1尺,CD=EB=10尺,人的身高BD=5尺.設(shè)繩索長(zhǎng)OA=OB=x尺,則可列方程為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線(xiàn)DE,F(xiàn)為射線(xiàn)BD上一點(diǎn),連接CF.
(1)求證:∠CBE=∠A;
(2)若⊙O的直徑為5,BF=2,tanA=2,求CF的長(zhǎng).
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