Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是AB上不與A、B重合的任意一點(diǎn)，作PQ⊥DP，Q在BC上，設(shè)AP=x，BQ=y，
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并作出大致圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)圖象將PB用x表示．再根據(jù)在直角三角形中正切函數(shù)與兩直角邊間的關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式．求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，自變量x也就確定．
（2）將函數(shù)關(guān)系式寫為頂點(diǎn)式，馬上可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)畫出圖象即可．
解答：解：（1）∵AP=x
∴BP=AB-AP=4-x
∵PQ⊥DP，即∠DPQ=90°
∴∠DPA+∠BPQ=180°-∠DPQ=90°
又∵∠DPA+∠ADP=90°
∴∠ADP=∠BPQ?tan∠ADP=tan∠BPQ?，即
∴y=-（x-2）²+1 （0＜x＜4）

（2）由上面解析式可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)的圖象、正方形的性質(zhì)．再建立函數(shù)關(guān)系式過(guò)程中靈活運(yùn)用了三角函數(shù)（本題該過(guò)程也可通過(guò)相似三角形來(lái)解決）．