【題目】如圖,在△ABC 中,∠C=90°

(1)利用尺規(guī)作∠B 的角平分線交AC于D,以BD為直徑作⊙O交AB于E(保留作圖痕跡,不寫作法);

(2)綜合應用:在(1)的條件下,連接DE

①求證:CD=DE;

②若sinA=,AC=6,求AD.

【答案】(1)作圖見解析;(2)①證明見解析;②AD=.

【解析】試題分析:(1)利用角平分線的作法得出∠B的角平分線BD,根據線段垂直平分線的作法作出線段BD的垂直平分線,交BD于點O,以O為圓心,以OB長為半徑作圓即可;(2)根據直徑所對的圓周角為直角可得∠BED=90°,再由角平分線的性質可得CD=DE;RtADE中,sinA== ,DC=DE=3x,AD=5x,根據AC=AD+DC列出方程求得x的值,即可求得AD的長.

試題解析:

(1)

(2)∵BD為O的直徑

∴∠BED=90°,又∵∠C=90°

∴DE⊥AB,DC⊥BC

又∵BD平分∠ABC

∴DE=DC

(3)

在Rt△ADE中,sinA=

∵sinA=

=

設DC=DE=3,AD=5

∵AC=AD+DC

∴3+5=6

=

AD=5=5×=

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