【題目】如圖,△ABC的中線AD、BE、CF相交于點(diǎn)G,H、I分別是BG、CG的中點(diǎn).
(1)求證:四邊形EFHI是平行四邊形;
(2)①當(dāng)AD與BC滿足條件 時(shí),四邊形EFHI是矩形;
②當(dāng)AD與BC滿足條件 時(shí),四邊形EFHI是菱形.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①AD⊥BC;②2AD=3BC
【解析】試題分析:(1)證出EF、HI分別是△ABC、△BCG的中位線,根據(jù)三角形中位線定理可得EF∥BC且EF=BC,HI∥BC且PQ=BC,進(jìn)而可得EF∥HI且EF=HI.根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論;
(2)①由三角形中位線定理得出FH∥AD,再證出EF⊥FH即可;
②與三角形重心定理得出AG=AD,證出AG=BC,由三角形中位線定理和添加條件得出FH=EF,即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)證明:∵BE,CF是△ABC的中線,∴EF是△ABC的中位線,∴EF∥BC且EF=BC.
∵H、I分別是BG、CG的中點(diǎn).,∴HI是△BCG的中位線,∴HI∥BC且HI=BC,∴EF∥HI且EF=HI,∴四邊形EFHI是平行四邊形.
(2)解:①當(dāng)AD與BC滿足條件 AD⊥BC時(shí),四邊形EFHI是矩形;理由如下:
同(1)得:FH是△ABG的中位線,∴FH∥AG,FH=AG,∴FH∥AD,∵EF∥BC,AD⊥BC,∴EF⊥FH,∴∠EFH=90°,∵四邊形EFHI是平行四邊形,∴四邊形EFHI是矩形;
故答案為:AD⊥BC;
②當(dāng)AD與BC滿足條件BC=AD時(shí),四邊形EFHI是菱形;理由如下:
∵△ABC的中線AD、BE、CF相交于點(diǎn)G,∴AG=AD,∵BC=AD,∴AG=BC,∵FH=AG,EF=BC,∴FH=EF,又∵四邊形EFHI是平行四邊形,∴四邊形EFHI是菱形;
故答案為:2AD=3BC.
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(1)當(dāng)直線m旋轉(zhuǎn)到如圖1位置時(shí),線段BE、CF、DG之間的數(shù)量關(guān)系是 _;
(2)當(dāng)直線m旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí),線段BE、CF、DG之間的數(shù)量關(guān)系是 _;
(3)當(dāng)直線m旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí),線段BE、CF、DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想,并加以證明.
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【題目】如圖,小明在一塊平地上測(cè)山高,先在B處測(cè)得山頂A的仰角為30°,然后向山腳直行100米到達(dá)C處,再測(cè)得山頂A的仰角為45°,那么山高AD為多少米?(結(jié)果保留整數(shù),測(cè)角儀忽略不計(jì), ≈1.414, ≈1.732)
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