Question

如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2

2

，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF．
（1）探究線段EF長度為最小值時，點D的位置，請畫出圖形；
（2）求出該最小值．

Answer 1

分析：（1）由垂線段的性質(zhì)可知：當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF的長度有最小值，
（2）連接OE，OF，過O作OH⊥EF于H，由勾股定理求出AD=BD=2，由圓周角定理求出∠EOH=

1

2

∠EOF=∠BAC=60°，求出∠OEH=30°，OE=1，OH=

1

2

，EH=

3

2

，由垂徑定理EF=2EH，代入求出即可．

解答：解：（1）如圖由垂線段的性質(zhì)可知：當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF的長度有最小值，

（2）連接OE，OF，過O作OH⊥EF于H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2

2

，
∴由勾股定理得：AD=BD=2，即此時圓的直徑是2，
由圓周角定理得：∠EOH=

1

2

∠EOF=∠BAC=60°，
∴∠OEH=30°，OE=1，
∴在Rt△EOH中，OH=

1

2

，EH=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
由垂徑定理得：EF=2EH=

3

．

點評：本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和推理能力，題目比較好，但是有一定的難度．