Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)B作⊙O的切線，交于CA的延長線于點(diǎn)E，∠EBC=2∠C.

(1)求證：AB=AC；(2)當(dāng)=時(shí)，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析(2) ①1/2②4

【解析】（1）證明：∵BE切⊙O于點(diǎn)B，

∴∠ABE＝∠C�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ�1分

∵∠EBC＝2∠C，

即  ∠ABE＋∠ABC＝2∠C。

∴∠ABC＝∠C。

∴AB＝AC�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ�2分

（2）解①如圖，連接AO，交BC于點(diǎn)F。

∵AB＝AC∴

∴AO⊥BC，且BF＝FC�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ�3分

∵  ∴∴…………………….….…….4分

設(shè),，

由勾股定理，得AF==………………5分

∴……………………………6分

②在EBA和ECB中，

∵∠E=∠E, ∠EBA=∠ECB,  ∴△EBA∽△ECB,

∴=  ……………………………7分

∵= 

∴(※)…………………8分

由切割線定理，得

將(※)式代入上式，得…………………………9分

∵,

∴………………………………………………10分

（1）BE切⊙O于點(diǎn)B，根據(jù)弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求證AB=AC的問題轉(zhuǎn)化為證明∠ABC=∠C的問題．

（2）①連接AO，交BC于點(diǎn)F，tan∠ABE=tan∠ABF= ，轉(zhuǎn)化為求AF的問題．

②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割線定理，得EB²=EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的長