Question

如圖，拋物線y =ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），且經(jīng)過直線y =x-3與x軸的交點(diǎn)B及與y軸的交點(diǎn)C．

【小題1】（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
【小題2】（2）求拋物線的解析式；   
【小題3】（3）求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
【小題4】（4）在直線y =x-3上是否存在點(diǎn)P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【小題1】解：（1）在y =x-3中，分別令y =0和x =0，得
x =3和y =-3．
∴ B（3，0），C（0，-3）． 
【小題2】（2）∵ 拋物線過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴ 設(shè)拋物線的解析式為：y =a（x+1）（x-3）．
∵ 拋物線過點(diǎn)C（0，-3），
∴ -3= a（0+1）（0-3）．
∴ a=1．
∴ 拋物線的解析式為：y =（x+1）（x-3）．       ………………… 4分
即y =x²-2x -3．
【小題3】（3）由y =x²-2x -3，得y =（x -1）²-4．
∴ 拋物線的頂點(diǎn)M（1，-4）
【小題4】（4）如圖，存在滿足條件的P₁（1，-2）和P₂（-1，-4）．
作MN⊥y軸于點(diǎn)N，則∠CNM=90°．
∵ M（1，-4），C（0，-3），
∴ MN=NC=1．
∴ ∠MCN=45°．
∵∠COB=90°，B（3，0），C（0，-3），
∴ ∠OCB=45°．
∴ ∠BCM=90°．       …………………………………………… 6分
∴ 要使點(diǎn)P在直線y =x-3上，必有PC=MC.
∠MPC=∠CMP=45°．
則 過點(diǎn)M分別作x軸和y軸的垂線，交直線y =x -3于點(diǎn)P₁和P₂.
在y = x -3中，分別令x =1，y =-4，得y =-2，x =-1．
則 P₁（1，-2）和P₂（-1，-4）解析:
略