Question

17．對(duì)于某一函數(shù)，給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對(duì)于一函數(shù)任意的函數(shù)值y，函數(shù)值都滿足-M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，同時(shí)進(jìn)一步規(guī)定，對(duì)某個(gè)有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)有界函數(shù)的確界值．例如如圖所示的函數(shù)是有界函數(shù)，其確界值是1.5．
問：將有界函數(shù)y=-x²+$\frac{1}{4}$（-m-$\frac{1}{4}$≤x≤1，m≥0）的圖象向上平移m個(gè)單位，得到的新函數(shù)的確界值是t，當(dāng)m在什么范圍時(shí)，滿足$\frac{3}{4}$≤t≤1．

Answer 1

分析 設(shè)0≤m≤$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$≤m≤$\frac{3}{4}$，m$＞\frac{3}{4}$，函數(shù)向上平移m個(gè)單位后，分別求出此時(shí)確界值，再判斷題意是否相符，得到結(jié)論即可．

解答 解：①若0≤m≤$\frac{1}{4}$，則-$\frac{1}{4}$≤-m≤0，
∴-$\frac{1}{2}$≤-m-$\frac{1}{4}$≤-$\frac{1}{4}$，
此時(shí)，函數(shù)最值為：最大值是$\frac{1}{4}$，最小值是-$\frac{3}{4}$，
向上平移m個(gè)單位后，最值變?yōu)?\frac{1}{4}$+m，最小值-$\frac{3}{4}$+m，
∵前者正，后者負(fù)，且后者的絕對(duì)值大，
∴此時(shí)函數(shù)的確界為|-$\frac{3}{4}$+m|=m-$\frac{3}{4}$，
按確界要求，$\frac{3}{4}$≤m-$\frac{3}{4}$≤1，
解得：0≤m≤$\frac{1}{4}$；
②若$\frac{1}{4}$≤m≤$\frac{3}{4}$，則-$\frac{3}{4}$≤-m≤-$\frac{1}{4}$，從而-1≤m≤-$\frac{1}{2}$，
此時(shí)，函數(shù)最值為：最大值$\frac{1}{4}$，最小值-$\frac{3}{4}$，
向右平移m個(gè)單位后，最值為：最大值$\frac{1}{4}$+m，最小值$\frac{3}{4}$+m，
∵前者正，后者負(fù)，且前者絕對(duì)值大，
∴此時(shí)該函數(shù)確界為$\frac{1}{4}$m，按確界要求，$\frac{3}{4}$≤m-$\frac{1}{4}$≤1，
解得：$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{4}$；
③若m$＞\frac{3}{4}$，ze則-m＜-$\frac{3}{4}$，從而-m-$\frac{1}{4}$＜-1，
此時(shí)最大值為$\frac{1}{4}$，平移后最大值為$\frac{1}{4}$+m，
∵m＞$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$+m＞1，此時(shí)函數(shù)值超過1，該部分m為空集，
綜上所述：m的取值范圍是：0≤m≤$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，同時(shí)要熟悉平移變換的性質(zhì)．