Question

如圖（1），在地面A、B兩處測(cè)得地面上標(biāo)桿PQ的仰角分別為30°、45°，且測(cè)得AB=3米，求標(biāo)桿PQ的長(zhǎng)
（2）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要注意基本模型的應(yīng)用，如圖（2），是測(cè)量不可達(dá)物體高度的基本模型：在地面A、B兩處測(cè)得地面上標(biāo)桿PQ的仰角分別為α、β，且測(cè)得AB=a米．
設(shè)PQ=h米，由PA-PB=a可得關(guān)于h的方程

 

，解得h=

atanβ•tanα

tanβ-tanα

（3）請(qǐng)用上述基本模型解決下列問(wèn)題：如圖3，斜坡AP的傾斜角為15°，在A處測(cè)得Q的仰角為45°，要測(cè)量斜坡上標(biāo)桿PQ的高度，沿著斜坡向上走10米到達(dá)B，在B處測(cè)得Q的仰角為60°，求標(biāo)桿PQ的高．（結(jié)果可含三角函數(shù)）

Answer 1

分析：（1）設(shè)標(biāo)桿PQ長(zhǎng)為x米，在RT△PAQ中求出AP，在RT△PBQ中求出BP，然后根據(jù)PA-PB=AB得出方程，解出即可．
（2）分別表示出PA、PB，然后代入PA-PB=a即可得出答案．
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，根據(jù)圖形中的三角函數(shù)關(guān)系可表示出QD，繼而RT△QPD中可表示出PQ．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)標(biāo)桿PQ長(zhǎng)為x米，
在RT△PAQ中，AP=

PQ

tan30°

=

3

x，
在RT△PBQ中，BP=

PQ

tan45°

=x
由PA-PB=AB，得

3

x-x=3，
解得x=

3 3 +3

2

≈4.1（3分）答：標(biāo)桿PQ的長(zhǎng)約為4.1；

（2）PA=

h

tanα

，PB=

h

tanβ

，
∴可得

h

tanα

-

h

tanβ

=a；

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，

∠QAP=30°，∠QBP=45°，AB=10米，由（2）得，QD=

10tan30°•tan45°

tan45°-tan30°

在RT△QPD中，∠QPD=75°，
PQ=

QD

sin75°

=

10tan30°•tan45°

sin75°(tan45°-tan30°)

=

10 3

sin75°•(3- 3)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是掌握各三角函數(shù)在直角三角形中的表示形式．