Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=4，BD⊥CD，E是BC的中點．
（1）∠DBC=

30°

；
（2）BC=

8

；
（3）點P從點B出發(fā)沿B→C以每秒3個單位的速度向點C勻速運動，同時點Q從點E出發(fā)沿E→D以每秒1個單位的速度向點D勻速運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動時間為t（s），連接PQ．當(dāng)t=

1或2

s時△PEQ為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由已知可以知道，四邊形為ABCD為等腰梯形，可知兩底角相等，及AB=DC=AD，且BD⊥CD，所以我們可用直角三角形兩余角和為90度．
（2）由（1）知，BC=2CD，可知△CDE為等邊三角形，即BC=2EC=2CD=8．
（3）根據(jù)題意，若△PEQ為等腰三角形，即EQ=EP，當(dāng)P在點E的左邊為一種情況；在右邊為一種情況．由已知可列方程，解之即可得出t．

解答：解：（1）設(shè)∠DBC=x，因為AD∥BC，AB=AD，
所以∠ABD=∠ADB=x，四邊形ABCD為等腰梯形，∠BCD=2x，
又BD⊥CD，
所以x+2x=90°，即x=30°．
即∠DBC=30°．

（2）在Rt△BCD中，E是BC的中點，
所以DE=BE=CE
又∠C=60°，所以△CDE為等邊三角形．
所以DE=DC=4，
即BC=2DE=8．

（3）若點P在BE上，因為∠PEQ=120°，
所以PE=QE；即4-3t=t，
解之t=1s；
若P在EC上，因為∠PEQ=60°，
所以PE=QE，
即3t-4=t，
解之t=2s．
所以當(dāng)t=1s或t=2s時，△PEQ是等腰三角形．

點評：本題主要考查了梯形，直角三角形，等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)的知識．