Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A（﹣2，0）、B（4、0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）T是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且△ATC是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）M、Q兩點(diǎn)分別從A、B點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸同時(shí)出發(fā)相向而行，當(dāng)點(diǎn)M到原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q立刻掉頭并以每秒 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M的直線l⊥x軸交AC或BC于點(diǎn)P．求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與△APQ面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+4得：

，

解得：a=﹣ ，b=1，

∴拋物線的解析式是：y=﹣ x2+x+4，

答：拋物線的解析式是y=﹣ x2+x+4．

（2）

解：由y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣1）2+ ，得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

直線x=1交x軸于點(diǎn)D，設(shè)直線x=1上一點(diǎn)T（1，h），

連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，

由C（0，4）得點(diǎn)E（1，4），

在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得32+h2=12+（4﹣h）2，

∴h=1，

∴T的坐標(biāo)是（1，1），

答：點(diǎn)T的坐標(biāo)是（1，1）．

（3）

解：（I）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，△AMP∽△AOC，

∴ ，PM=2t，

AQ=6﹣t，

∴S= PMAQ= ×2t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，

當(dāng)t=2時(shí)S的最大值為8；

（II）當(dāng)2＜t≤3時(shí)，

作PM⊥x軸于M，作PF⊥y軸于點(diǎn)F，

則△COB∽△CFP，

又∵CO=OB，

∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AQ=4+ （t﹣2）= t+1，

∴S= PMAQ= （6﹣t）（ t+1）=﹣ t2+4t+3=﹣ （t﹣ ）2+ ，

當(dāng)t= 時(shí)，S最大值為 ，

綜合（I）（II）S的最大值為 ，

答：點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與△APQ面積S的函數(shù)關(guān)系式是S=﹣t2+6t（0＜t≤2），S=﹣ t2+4t+3（2＜t≤3），S的最大值是 ．

【解析】（1）把A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；（2）設(shè)直線x=1上一點(diǎn)T（1，h），連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，根據(jù)TA=TC由勾股定理求出即可；（3）（I）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；（II）當(dāng)2＜t≤3時(shí)，作PM⊥x軸于M，PF⊥y軸于點(diǎn)F，表示出三角形APQ的面積，利用配方法求出最值即可．