Question

九年級的小玲從小就喜歡畫畫，探究問題．下面請看她的探究過程：
（a）以AB為直徑畫半⊙O；（b）在半⊙O上任意取一點(diǎn)C；（c）畫∠ACB的平分線與AB相交于點(diǎn)D； （d）畫CD的中垂線m與AC、BC分別相交于E、F；（d）連接DE、DF．
結(jié)果她發(fā)現(xiàn)：（1）∠ADE與∠BDF互余；（2）四邊形CEDF為正方形；（3）△AED與△DFB相似；（4）把△BFD繞著D點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，B點(diǎn)的位置恰好在△ABC的AC邊的直線上．
則你認(rèn)為其中正確的有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：由于AB是直徑，由圓周角定理知∠ACB=90°，而EF⊥OC，且OC是∠ECF的角平分線，即可證得△ECF是等腰直角三角形，CE=CF，由中垂線的性質(zhì)知：CE=DE=CF=DF，即可證得四邊形CEDF是正方形，然后根據(jù)這個條件來判斷各選項(xiàng)是否正確．
解答：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
由（d）知：EF⊥CD，而CD平分∠ECF，易證得△ECF是等腰三角形；
∴CE=CF；
∵直線m垂直平分CD，
∴CE=DE，CF=DF，即CE=CF=DE=DF，
∴四邊形CEDF是正方形；故（2）正確；
∴∠EDF=90°，則∠ADE+∠BDF=90°，故（1）正確；
由（b）知：DF∥AC，DE∥BC，
則∠FDB=∠EAD，∠EDA=∠FBD，
故可得Rt△AED∽Rt△DFB，故（3）正確；
把△BFD繞著D點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∵∠EDF=90°，ED=DF，
∴旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)E和點(diǎn)F重合，
又∵∠DFB=90°，∠DEC=90°，
∴點(diǎn)B一定落在AC所在的直線上．
綜上可得①②③④均正確．
故選D．
點(diǎn)評：此題屬于圓的綜合題，涉及了圓周角定理、正方形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，能夠得到四邊形CEDF是正方形是解決此題的關(guān)鍵，難度較大．