Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠BAC的平分線，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延長線交于點(diǎn)F．
（1）在圖中找出與△ABD全等的三角形，并說出全等的理由；
（2）說明BD=2EC；
（3）如果AB=5，求AD的長．

Answer 1

證明：（1）△ABD≌△ACF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠FAC=∠BAC=90°，
∵BD⊥CE，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），

（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，
∴∠BEF=∠BEC，
∵BD是∠BAC的平分線，
∴∠FBE=∠CBE，
∵在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF=EC，
∴CF=2CE，
∴BD=2CE．

（3）過D作DM⊥BC，

設(shè)AD=DM=MC=x，
則DC=x
由AB=AC=AD+DC可得：x+x=5，
解得：x=5-5，
即如果AB=5，則AD的長為5-5．
分析：（1）可利用ASA判斷△ABD≌△ACF；
（2）根據(jù)（1）可得BD=CF，證明△BFE≌△BCE，可得出EF=CE=CF，繼而可得出結(jié)論；
（3）過D作DM⊥BC，設(shè)AD=DM=MC=x，則可得DC=x，根據(jù)AD+DC=AC=AB=5，可得關(guān)于x的方程，解出即可得出答案．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握全等三角形的判定定理及等量代換的應(yīng)用，第三問還可以根據(jù)BC=MB+MC，得出方程5+x=5，難度一般．