Question

在正方形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，AF丄BE交BE于G，交CD于F，連CG延長(zhǎng)交AD于H．下列結(jié)論：
①CG=CB；②；③；④以AB為直徑的圓與CH相切于點(diǎn)G，其中正確的是________．

Answer 1

①②③④
分析：連接OG、OC，構(gòu)建全等三角形△BOC≌△GOC，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等推知∠OBC=∠OGC=90°，即OG⊥CH，故④正確；利用④中切線(xiàn)的性質(zhì)可以推知①正確；由平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例可以證得②正確；最后由正方形的性質(zhì)及勾股定理可以求得④正確．
解答：解：連接OG、OC．
∵AF丄BE，
∴∠ABE=∠DAF；
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（ASA），
∴AE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；
又∵E為AD中點(diǎn)，
∴F為DC的中點(diǎn)；
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴OC∥AF，
∴OC⊥BE，
∴∠BOC=∠GOC；
在△BOC和△GOC中，
∵，
∴△BOC≌△GOC，
∴∠OBC=∠OGC=90°，即OG⊥CH，
∴以AB為直徑的圓與CH相切于點(diǎn)G；
故④正確；
∵以AB為直徑的圓與CH相切于點(diǎn)G，AB⊥BC，
∴CG=CB；
故①正確；
∵AD∥BC，
∴==；
∵CG=CB，
∴HG=HE；
又∵E為AD中點(diǎn)，
∴AH=HE=HG，即點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，
∴==；
故②正確；
∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，
∴DF=AD；
∴AF=AD（勾股定理）；
∵tan∠DAF===，
∴AG=2EG，
∴AE=EG=AD，
∴EG=AD，
∴AG=AD，
∴FG=AF-AG=AD，
∴=；
故③正確；
綜上所述，正確的說(shuō)法有：①②③④．
故答案是：①②③④．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線(xiàn)的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解答③選項(xiàng)時(shí)，也可以利用相似三角形的判定與性質(zhì)．