Question

【題目】如圖，拋物線y= （x﹣3）2﹣1與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；
（2）連接CD，過原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，連接AE，AD，求證：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作⊙E的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣1）．

令y=0，得 （x﹣3）2﹣1=0，

解得：x1=3+ ，x2=3﹣ ，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（3﹣ ，0），B（3+ ，0）

（2）

方法一：

證明：如答圖1，過頂點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，則G（0，﹣1），GD=3．

令x=0，得y= ，

∴C（0， ）．

∴CG=OC+OG= +1= ，

∴tan∠DCG= ．

設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)M，則OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣ ）= ．

由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．

∴tan∠EOM=tan∠DCG= = ，

解得EM=2，

∴DE=EM+DM=3．

在Rt△AEM中，AM= ，EM=2，由勾股定理得：AE= ；

在Rt△ADM中，AM= ，DM=1，由勾股定理得：AD= ．

∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，

∴△ADE為直角三角形，∠EAD=90°．

設(shè)AE交CD于點(diǎn)F，

∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（對頂角相等），

∴∠AEO=∠ADC

方法二：

∵C（0， ），D（3，﹣1），

∴KCD= ，

∵OE⊥CD，∴KCD×KOE=﹣1，

∴KOE= ，

∴l(xiāng)OE：y= x，把x=3代入，得y=2，

∴E（3，2），

∵A（3﹣ ，0），D（3，﹣1），

∴KEA= = ，

∵KAD= ，

∴KEA×KAD=﹣1，

∴EA⊥AD，∠EHD=∠EAD，

∵∠EFH=∠AFD，

∴∠AEO=∠ADC

（3）

方法一：

解：依題意畫出圖形，如答圖2所示：

由⊙E的半徑為1，根據(jù)切線性質(zhì)及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，

要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP2最�。�

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．

∵y= （x﹣3）2﹣1，

∴（x﹣3）2=2y+2．

∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5

當(dāng)y=1時，EP2有最小值，最小值為5．

將y=1代入y= （x﹣3）2﹣1，得 （x﹣3）2﹣1=1，

解得：x1=1，x2=5．

又∵點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，

∴x1=1舍去．

∴P（5，1）．

∵△EQ2P為直角三角形，

∴過點(diǎn)Q2作x軸的平行線，再分別過點(diǎn)E，P向其作垂線，垂足分別為M點(diǎn)和N點(diǎn)．

由切割線定理得到Q2P=Q1P=2，EQ2=1

設(shè)點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（m，n）

則在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①，（5﹣m）2+（n﹣1）2=4②

①﹣②得n=2m﹣5③

將③代入到①得到

m1=3（舍，為Q1）

m2=

再將m= 代入③得n= ，

∴Q2（ ， ）

此時點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3，1）或（ ， ）

方法二：由⊙E的半徑為1，得PQ2=EP2﹣1，要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP2最小，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2，

∵y= （x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2，

∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5，

∴當(dāng)y=1時，EP2有最小值，將y=1代入y= （x﹣3）2﹣1得：x1=1，x2=5，

又∵點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，

∴x1=1舍去，∴P（5，1），

顯然Q1（3，1），

∵Q1Q2被EP垂直平分，垂足為H，

∴KQ1Q2×KEP=﹣1，

∴KEP= =﹣ ，KQ1Q2=2，

∵Q1（3，1），

∴l(xiāng)Q1Q2：y=2x﹣5，

∵lEP：y=﹣ x+ ，

∴x= ，y= ，

∴H（ ， ），

∵H為Q1Q2的中點(diǎn)，

∴Hx= ，

HY= ，

∴Q2（x）=2× ﹣3= ，

Q2（Y）=2× ﹣1= ，

∴Q2（ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，求出點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；（2）如何證明∠AEO=∠ADC？如答圖1所示，我們觀察到在△EFH與△ADF中：∠EHF=90°，有一對對頂角相等；因此只需證明∠EAD=90°即可，即△ADE為直角三角形，由此我們聯(lián)想到勾股定理的逆定理．分別求出△ADE三邊的長度，再利用勾股定理的逆定理證明它是直角三角形，由此問題解決；（3）依題意畫出圖形，如答圖2所示．由⊙E的半徑為1，根據(jù)切線性質(zhì)及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP2最�。�利用二次函數(shù)性質(zhì)求出EP2最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)，并進(jìn)而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．