Question

【題目】關(guān)于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0

（1）當(dāng)m在什么范圍取值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？

（2）設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ， 問m為何值時(shí)，x12+x22=17？

（3）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2， 問x1和x2能否同號(hào)？若能同號(hào)，請求出相應(yīng)m的取值范圍；若不能同號(hào)，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）m=﹣4（3）m≠0，且m≤

【解析】

（1）根據(jù)根的判別式，列出不等式求解即可；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=1﹣m，x1x2=代入方程求解;

(3) 根據(jù)當(dāng)m≤時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由（2）知，x1x2=，

＞0，可得m的取值范圍.

（1）∵當(dāng)△=[4（m﹣1）]2﹣4×4m2=﹣8m+4≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

即m≤，

∴當(dāng)m≤時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得：x1+x2=﹣=1﹣m，x1x2=，

∵x12+x22=17，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=17，

∴（1﹣m）2﹣=17

解得：m1=8，m2=﹣4，

∵當(dāng)m≤時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴m=﹣4；

（3）∵由（1）知當(dāng)m≤時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由（2）知，x1x2=，

∴＞0，

∴當(dāng)m≠0，且m≤時(shí)，x1和x2能同號(hào)，

即m的取值范圍是：m≠0，且m≤．