Question

【題目】如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為2，連結(jié)對(duì)角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)M，N．給出下列結(jié)論：①∠AME=108°；②AN2=AMAD；③MN=3﹣ ；④S△EBC=2 ﹣1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正確；
∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴ ，
∴AE2=AMAD；
∴AN2=AMAD；故②正確；
∵AE2=AMAD，
∴22=（2﹣MN）（4﹣MN），
∴MN=3﹣ ；故③正確；
在正五邊形ABCDE中，

∵BE=CE=AD=1+ ，
∴BH= BC=1，
∴EH= = ，
∴S△EBC= BCEH= ×2× = ，故④錯(cuò)誤；
故選C．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正多邊形和圓和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角；圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．