Question

黑板上有三個(gè)正整數(shù)a、b、c（不計(jì)順序）．允許進(jìn)行如下的操作：擦去其中的任意一個(gè)數(shù)，寫上剩下的兩個(gè)數(shù)的平方和．如：擦去a，寫上b²+c²，這次操作完成后，黑板上的三個(gè)數(shù)為b、c、b²+c²．問：
（1）當(dāng)黑板上的三個(gè)數(shù)分別為1，2，3時(shí)，能否經(jīng)過有限次操作使得這三個(gè)數(shù)變?yōu)?6，57，58（不計(jì)順序）．若能，請(qǐng)給出操作方法；若不能，請(qǐng)說明理由；
（2）是否存在三個(gè)小于2000的正整數(shù)a、b、c，使得它們經(jīng)過有限次操作后，其中的一個(gè)數(shù)為2007．若能，寫出正整數(shù)a、b、c，并給出操作方法；若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）是否存在三個(gè)小于2000的正整數(shù)a、b、c，使得它們經(jīng)過有限次操作后，其中的一個(gè)數(shù)為2008．若能，寫出正整數(shù)a、b、c，并給出操作方法；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）不能；
當(dāng)黑板上的三個(gè)數(shù)為1、2、3時(shí)，不論進(jìn)行哪種操作都不能改變3個(gè)數(shù)的奇偶性，即三個(gè)數(shù)必為2個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)，
因此不能變?yōu)?6、57、58．
（2）不能；
若能，則2007一定可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，即2007=m²+n²（m，n為正整數(shù)）．
又任意一個(gè)自然數(shù)m，必有m²≡0（mod4）或m²≡1（mod4），
所以m²+n²≡0（mod4）或m²+n²≡1（mod4）或m²+n²≡2（mod4），而2007≡3（mod4），
因此不可能．
（3）不能；
若能，由（2）知，因?yàn)?008≡0（mod4），不妨設(shè)2008=（2m）²+（2n）²（其中m、n為正整數(shù)），
因此m²+n²=502．又任意一個(gè)自然數(shù)m，必有m²≡0（mod8）或m²≡1（mod8），
所以m²+n²≡0（mod8）或m²+n²≡1（mod8）或m²+n²≡2（mod8），而502≡6（mod8），
因此不可能．
分析：（1）首先要知道平方不能改變一個(gè)數(shù)的奇偶性，而且題目的操作都不能改變3個(gè)數(shù)的奇偶性，由這可以判斷不能變?yōu)?6、57、58；
（2）不能；若能，則2007一定可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，即2007=m²+n²（m，n為正整數(shù)），然后利用余數(shù)定理得到2007與3被4除余數(shù)相同，而m²+n²不可能被4除余數(shù)是3，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的；
（3）不能；若能，由（2）知，因?yàn)?008≡0（mod4），同樣根據(jù)（2）可以推出m²+n²不可能被4除余數(shù)是0，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的．
點(diǎn)評(píng)：此題是競(jìng)賽題，主要考查了奇偶性，余數(shù)定理，可能有的符號(hào)還不能理解．