Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，邊AC上有一點O，以點O為圓心，OA長為半徑畫圓，恰好與邊BC相切于點D，過點D作DE⊥AC于點M，DE交⊙O于點E，連接AE，CE．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若OA=$\sqrt{3}$，DE=3，求證：四邊形ABDE是菱形．

Answer 1

分析 （1）連接OD、OE，由垂徑定理可知DM=EM，結合OD=OE、OM=OM即可得出△ODM≌△OEM，由此得出∠DOM=∠EOM，再根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可得出△ODC≌△OEC，即得出∠OEC=∠ODC，結合切線的性質(zhì)即可得出∠OEC=∠ODC=90°，由此可證出CE是⊙O的切線；
（2）連接BO、DO，由全等直角三角形的判定定理HL可得出△BAO≌△BDO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出BA=BD、∠BOA=∠BOD，解直角三角形可得出∠DOM=60°，進而得知∠BOA=∠BOD=60°，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可求出BA=3=DE，結合BA⊥AC，DE⊥AC可知BA∥DE，故得出四邊形ABDE是平行四邊形，再根據(jù)臨邊相等可證出四邊形ABDE是菱形．

解答 （1）證明：連接OD、OE，如圖1所示．

∵DE⊥AC于點M，
∴DM=ME．
在△ODM和△OEM中，有$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{OM=OM}\\{DM=EM}\end{array}\right.$，
∴△ODM≌△OEM（SSS），
∴∠DOM=∠EOM．
在△ODC和△OEC中，有$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠DOM=∠EOM}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△OEC（SAS），
∴∠OEC=∠ODC．
∵BC切⊙O于點D，
∴∠OEC=∠ODC=90°，
∴CE是⊙O的切線．
（2）證明：連接BO、DO，如圖2所示．

∵BC切⊙O于點D，
∴∠BDO=90°．
在Rt△BAO和Rt△BDO中，有$\left\{\begin{array}{l}{OD=OA}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△BDO（HL），
∴BA=BD，∠BOA=∠BOD，
∵OA=$\sqrt{3}$，DE=3，
∴在Rt△DOM中，OD=OA=$\sqrt{3}$，DM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$，
∴sin∠DOM=$\frac{DM}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DOM=60°，
∴∠BOA=∠BOD=60°，
在Rt△BAO中，OA=$\sqrt{3}$，∠BOA=60°，
∴AB=OA•tan∠BOA=3，
∴BA=DE=3．
∵BA⊥AC，DE⊥AC，
∴BA∥DE．
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
又∵BA=BD，
∴四邊形ABDE是菱形．

點評 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及菱形的判定定理，解題的關鍵是：（1）找出∠OEC=∠ODC=90°；（2）通過解直角三角形BA∥且等于DE．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)切線的性質(zhì)尋找直角，再同過解直角三角形得出結論．