Question

（2012•路南區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)C不重合），連接BP．將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，連接AA₁，直線AA₁分別交直線PB、直線BB₁于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）如圖①，當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，在α角變化過(guò)程中，△APA₁與△BPB₁始終存在

相似

關(guān)系（填“相似”或“全等”），同時(shí)可得∠A₁AP

=

∠B₁BP（填“=”或“＜”“＞”關(guān)系）．請(qǐng)說(shuō)明△BEF與△AEP之間具有相似關(guān)系；
（2）如圖②，設(shè)∠ABP=β，當(dāng)120°＜α＜180°時(shí)，在α角變化過(guò)程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖③，當(dāng)α=120°時(shí)，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合．已知AB=4，設(shè)AP=x，S=△A₁BB₁面積，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)角相等得到一對(duì)角相等，且兩對(duì)邊相等，可得出三角形APA₁與三角形BPB₁為頂角相等的等腰三角形，利用內(nèi)角和定理得到底角相等，再根據(jù)對(duì)頂角相等，等量代換得到一對(duì)角相等，又一對(duì)角為公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似即可得到三角形BEF與三角形AEP相似；
（2）存在，理由為：由（1）得出三角形BEF與三角形AEP相似，要使兩三角形全等，只需找出一對(duì)角相等，即BE=AE即可，此時(shí)利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，由AB=BC，∠ABC=120°，求出∠BAC的度數(shù)，表示出∠PAA₁的度數(shù)，由∴∠BAE=∠ABP=∠BAC-∠PAA₁，將各自的值代入即可列出兩三角形全等時(shí)，α與β滿足的關(guān)系；
（3）過(guò)點(diǎn)P做PH⊥AA₁于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B做BM⊥B₁A₁交B₁A₁的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖③所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△APB≌△A₁PB₁，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等得到∠BAP=∠B₁A₁P，AB=A₁B₁=4，由∠APA₁=α=120°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAP=∠PA₁A=∠B₁A₁P=30°，進(jìn)而得到∠AA₁D=∠BA₁M=60°，在Rt△PHA和Rt△BM A₁中，利用銳角三角函數(shù)定義由x表示出AH，AA₁，表示出A₁B，利用銳角三角形函數(shù)定義表示出BM，三角形A₁BB₁為B₁A₁為底邊，BM為高，利用三角形的面積公式即可列出S關(guān)于x的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）∵∠APA₁=∠BPB₁=α，AP=A₁P，BP=B₁P，
∴∠PAA₁=∠PBB₁=

1

2

（180°-α）=90°-

α

2

，
∵∠PBB₁=∠EBF，
∴∠EBF=∠PAE，又∠BEF=∠AEP，
∴△BEF∽△AEP；
故答案為：相似，=；
（2）存在，同上可證△BEF∽△AEP，
∴若要使得△BEF≌△AEP，只需滿足BE=AE即可，
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠ABC=120°，AB=BC，∠APA₁=α，AP=A₁P，
∴∠BAC=30°，∠PAA₁=90°-

α

2

，
∴∠BAE=∠ABP=∠BAC-∠PAA₁，
∴β=30°-（90°-

α

2

）=

α

2

-60°，
則當(dāng)△BEF≌△AEP時(shí)，β=

α

2

-60°（或α=2β+120°）；
（3）過(guò)點(diǎn)P做PH⊥AA₁于點(diǎn)H，
過(guò)點(diǎn)B做BM⊥B₁A₁交B₁A₁的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∵△APB≌△A₁PB₁，
∴∠BAP=∠B₁A₁P，AB=A₁B₁=4，
∵∠APA₁=α=120°，
∴∠BAP=∠PA₁A=∠B₁A₁P=30°，
∴∠AA₁D=∠BA₁M=60°，
∴在Rt△PHA和Rt△BM A₁中，AP=x，AH=

3

2

x，AA₁=

3

x，
∴A₁B=AB-AA₁=4-

3

x，
∴BM=A₁Bsin60°=

3

2

（4-

3

x）=2

3

-

3

2

x，
則S=

1

2

A₁B₁•BM=

1

2

×4×（2

3

-

3

2

x）=4

3

-3x．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．