Question

已知：⊙O₁與⊙O₂相交于點(diǎn)A、B，AC切⊙O₂于點(diǎn)A，交⊙O₁于點(diǎn)C．直線EF過(guò)點(diǎn)B，交⊙O₁于點(diǎn)E，交⊙O₂于點(diǎn)F．
（1）設(shè)直線EF交線段AC于點(diǎn)D（如圖1）．
①若ED=12，DB=25，BF=11，求DA和DC的長(zhǎng)；
②求證：AD•DE=CD•DF；
（2）當(dāng)直線EF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D時(shí)（如圖2），試問(wèn)AD•DE=CD•DF是否仍然成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）①有ED，BD，BF的長(zhǎng)，根據(jù)切割線定理，可求出AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)相交弦定理可求出CD的長(zhǎng)；②根據(jù)切割線定理得出的AD²=DB•BF以及相交弦定理得出的AD•CD=DE•BD，兩式子相除即可得出所求的結(jié)論．
（2）解法與（1）中的②完全相同．

解答：解：（1）①∵AC切⊙O₂于A，
∴AD²=DB•DF=25×36．
∴AD=30．
又由AD•CD=DE•BD得CD=10，
∴AD=30，CD=10．
②由AD²=DB•DF和AD•CD=DE•BD，
相除可得

AD

CD

=

DF

DE

，故AD•DE=CD•DF．

（2）成立，
證明：∵AD切⊙O₂于A，
∴AD²=DB•DF…①
又由DA•CD=DE•DB …②
①÷②得：

AD

CD

=

DF

DE

，因此AD•DE=CD•DF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用以及切割線定理和相交弦定理．