Question

5．劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見(jiàn)圖①、②．圖①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動(dòng)．在移動(dòng)過(guò)程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上（移動(dòng)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合）．

（1）在△DEF沿AC方向移動(dòng)的過(guò)程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸變�。�
（填“不變”、“變大”或“變小”）
（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步地研究，編制了如下問(wèn)題：
問(wèn)題①：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線與AB平行？
問(wèn)題②：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？
問(wèn)題③：在△DEF的移動(dòng)過(guò)程中，S_△ADB+S_△CEB的值是否為一定值？如果是，求出此定值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，觀察圖形，F(xiàn)、C兩點(diǎn)間的距離逐漸變��；
（2）①因?yàn)椤螧=90°，∠A=30°，BC=6，所以AC=12，又因?yàn)椤螰DE=90°，∠DEF=45°，DE=4，所以DF=4，連接FC，設(shè)FC∥AB，則可求證∠FCD=∠A=30°，故AD的長(zhǎng)可求；
②設(shè)AD=x，則FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，再分情況討論：FC為斜邊；AD為斜邊；BC為斜邊．綜合分析即可求得AD的長(zhǎng)；
③連接BD、BE，作BH⊥AC于H，根據(jù)正弦的概念求出BH的長(zhǎng)，求出△BDE的面積，根據(jù)S_△ADB+S_△CEB=△ABC的面積-△BDE的面積計(jì)算即可．

解答 解：（1）觀察圖形可知，F(xiàn)、C兩點(diǎn)間的距離逐漸變小，
故答案為：變小；
（2）問(wèn)題①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AC=2BC=12，
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4，
∴DF=4，
如圖1，連接FC，當(dāng)FC∥AB時(shí)，
∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中，DC=4$\sqrt{3}$，
∴AD=AC-DC=12-4$\sqrt{3}$，
∴AD=（12-4$\sqrt{3}$）cm時(shí)，F(xiàn)C∥AB；
問(wèn)題②：設(shè)AD=x，在Rt△FDC中，F(xiàn)C²=DC²+FD²=（12-x）²+16，
（I）當(dāng)FC為斜邊時(shí)，
由AD²+BC²=FC²得，x²+6²=（12-x）²+16，x=$\frac{31}{6}$；
（II）當(dāng)AD為斜邊時(shí)，
由FC²+BC²=AD²得，（12-x）²+16+6²=x²，x=$\frac{49}{6}$；
∵DE=4，
∴AD=AC-DE=12-4=8，
∴x=$\frac{49}{6}$＞8（不合題意舍去），
（III）當(dāng)BC為斜邊時(shí)，
由AD²+FC²=BC²得，x²+（12-x）²+16=36，
整理得出：x²-12x+62=0，
∴方程無(wú)解，
∴由（I）、（II）、（III）得，當(dāng)x=$\frac{31}{6}$cm時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形；
③S_△ADB+S_△CEB=12$\sqrt{3}$cm²．
理由如下：如圖2，連接BD、BE，作BH⊥AC于H，
∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm，
∴BH=BC•sinC=3$\sqrt{3}$cm，
∴△BDE的面積為：$\frac{1}{2}$×DE×BH=$\frac{1}{2}$×4×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_△ADB+S_△CEB=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$-6$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平移的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意勾股定理的應(yīng)用和正確解出一元二次方程．